Este proyecto que pertenece al área de la Geometría Diferencial esta dedicado a la investigación de propiedades geométricas de subvariedades Riemannianas y también de subvariedades semi-Riemannianas, es decir subvariedades que heredan una métrica Riemanniana o Semi-Riemanniana del espacio ambiente donde se encuentran inmersas.Para este estudio utilizamos un enfoque de análisis global y más particularmente la teoría de singularidades de funciones diferenciables. En este sentido se pretende contribuir en el estudio de la relación que existe entre la geometría intrínseca (métrica ) y la geometría extrínseca (segunda forma fundamental, operador de forma, etc.,) de una subvariedad Riemanninana o semi-Riemanniana. Lo anterior implica de manera natural investigar las relaciones entre los invariantes intrínsecos y extrínsecos de la subvariedad, así como las foliaciones asociadas a su geometría extrínseca; a saber, las foliaciones principales y de líneas asintóticas de las subvariedades. El resumen de las metas para los tres años que contempla en este proyecto es: 1. Cuatro artículos publicados o aceptados para su publicación en revistas de investigación de circulación internacional y un manuscrito terminado y enviado para ser considerados para su publicación en el mismo tipo de revistas. 2. Cuatro presentaciones de estos trabajos en congresos internacionales. 3. Cuatro grados obtenidos por nuestros estudiantes: dos de licenciatura y dos de doctorado. 4. Cuatro colaboraciones sustentadas en las publicaciones del punto 1: dos internacionales y dos nacionales. Creemos que de acuerdo a la productividad reflejada en nuestros resúmenes curriculares y antecedentes del proyecto, estas metas resultan realistas. Por otro lado este proyecto que pertenece a la Facultad de Ciencias y en el que participarán cuatro estudiantes, de posgrado y licenciatura, representa la consolidación de un grupo de investigación que ofrece a nuestro ambiente académico una alternativa seria y competitiva de interacción y formación de estudiantes. Considerando la escasez de recursos que para investigación tienen la facultades resulta fundamental el apoyo que podamos obtener en este programa de PAPIIT.

Distinguimos como los principales problemas donde este proyecto pretende hacer contribuciones importantes los siguientes: 1. La determinación de la estructura de los conjuntos de puntos de contacto de orden mayor como por ejemplo el conjunto parabólico, el conjunto de inflexión, etc. , así como, en el caso de superficies que son gráfica de polinomios, esperamos contribuir también con la determinación de la estructura topológia del espacio de polinomios hiperbólicos y la determinación de la cardinalidad de las cúspides de Gauss en función del grado, de acuerdo a los problemas propuestos por V. Arnold en el área de la Topología Hessiana. En general, la descripción de las relaciones de estos elementos de contacto con los invariantes y las foliaciones Riemaniannas o Semi- Riemannianas, según el caso, de la subvariedad, [B]. 2. La determinación de las condiciones que garantizan la reducción de la codimensión de una subvariedad Riemanniana o Semi-Riemanniana, según el caso, en términos de sus invariantes intrínsecos y extrínsecos. [GRS], [RS]. En el lugar donde se encuentra nuestra investigación es importante analizar los ejemplos encontrados para generar más clases que muestren la relevancia de nuestras contribuciones. 3. El descubrimiento de nuevos invariantes extrínsecos, así como nuevas relaciones entre éstos y los invariantes intrínsecos que pudieran también provenir de las foliaciones Riemannianas o Semi-Riemannianas según el caso, de la subvariedad [BS2], [CH], [IPS]. Señalamos el caso de superficies inmersas en codimension 3 tanto en el espacio Euclideano como en el espacio de Minkowski.