El trabajo reciente de investigación del Responsable se ha enfocado cada vez más al desarrollo de *algoritmos* novedosos para el estudio numérico de distintos sistemas modelo en los campos de la mecánica estadística y la dinámica nolineal. Estos algoritmos luego se implementan como simulaciones en la computadora, y los resultados de éstas se comparan con resultados analíticos, cuando estos estén disponibles, a menudo en colaboración con expertos en esta área. El objetivo de este proyecto es el unificar y precisar estos esfuerzos. El proyecto se basa en, y parte de, el estudio de distintos sistemas específicos de modelos tipo billar y caminatas aleatorias llevados a cabo exitosamente durante los últimos dos proyectos PAPIIT. La idea principal del proyecto es el extender estudios anteriores, a través del desarrollo de algoritmos novedosos para problemas específicos, diseñados "ad hoc" para cada problema. Los algoritmos en cuestión proveen técnicas numéricas para llevar a cabo simulaciones de la dinámica de un sistema de una manera más eficiente, más precisa, y más rápida. Los algoritmos que se planteen para problemas en mecánica estadística, principalmente de distintos tipos de procesos estocásticos, provienen del estudio de algoritmos tipo *Monte Carlo cinéticos* ("kinetic Monte Carlo") y métodos *sin rechazo*. Estos algoritmos reproducen la misma dinámica, pero cuando hay una etapa lenta de la dinámica, intentan evitar el considerar esta parte, y así pueden ser mucho más eficientes, en el sentido de que tarden mucho menos en llevar al cabo el *mismo* cálculo. El ejemplo principal de este tipo que proponemos es un algoritmo para simular una dinámica *determinista* en un entorno *aleatorio* de espejos; así, el problema tiene el sabor al mismo tiempo de billares y de procesos estocásticos. Otros algoritmos propuestos son "algoritmos exactos", lo cual se refiere al hecho de que dichos algoritmos intentan calcular de manera *exacta* las cantidades necesarias en el problema dado (hasta los errores numéricos usuales). Un ejemplo es el método de enumeración exacta que aplicaremos a caminatas aleatori Los algoritmos para estudiar caos en sistemas nolineales (deterministas) tienen otro sabor, tomando en cuenta la precisión finita de los cálculos, y ocuparán métodos numéricos rigurosos mediante aritmética de intervalos. Cabe enfatizar que, como comentaremos en la sección de Antecedentes, de manera repetida hemos podido *entender* mejor un sistema, gracias al mero esfuerzo de intentar desarrollar algoritmos adecuados para simular el mismo (incluso antes de llevar a cabo las simulaciones para las cuales estaba diseñado el algoritmo). Así, estamos convencidos de que el esfuerzo de desarrollar algoritmos nuevos para estudiar un sistema dado es una parte clave en el proceso de estudiarlo. Cabe resaltar que aún si a veces los sistemas y las aplicaciones propuestos para su estudio en este proyecto puedan parecer algo alejados entre sí, realmente no lo son tanto, y el estudio de uno de ellos arroja nuevas ideas para posibles métodos de ataque y posibles algoritmos para otro sistemas.

Este proyecto traerá las siguientes contribuciones: Desarrollo de algoritmos nuevos, de tipo eficientes y (numéricamente) exactos, para la simulación computacional de sistemas específicos en las áreas de mecánica estadística y dinámica nolineal, incluyendo: - dinámicas deterministas y aleatorias en medios desordenados generados por procesos de percolación - ubicación de órbitas periódicas y caracterización del caos en sistemas dinámicos mediante algoritmos rigurosos con métodos de intervalo - estudio del transporte de masa y energía en sistemas Hamiltonianos espacialmente extendidos El impacto del proyecto radicará en los nuevos enfoques que arrojarán los algoritmos propuestos, y los nuevos entendimientos de los modelos y, por ende, de los sistemas, que de ahí surjan.