La recta tropical es el semi-anillo consistente en los números_x000D_ reales union el infinito con las operaciones mínimo y suma. Los_x000D_ polinomios tropicales definen funciones "lineales a trozos" siendo_x000D_ las variedades tropicales su lugar de no linealidad._x000D_ _x000D_ La Geometría Tropical es una rama relativamente nueva de las_x000D_ matemáticas que está produciendo muchos resultados muchas áreas_x000D_ diferentes: Geometría Enumerativa, Geometría Algebraica, Análisis_x000D_ complejo... Textos introductorios sobre el tema son por ejemplo_x000D_ [GAT, It-Mik-Sh, Ri-Stu]._x000D_ _x000D_ El equipo trabajará en tres líneas de investigación dentro de la_x000D_ Geometría Tropical:_x000D_ _x000D_ * Extensión de las nociones de Geometría Tropical a grupos totalmente ordenados:_x000D_ _x000D_ El paso de un polinomio con coeficientes en un_x000D_ campo a un polinomio tropical se realiza mediante una valoración en_x000D_ el campo de coeficientes. Hasta el momento se ha trabajado con la_x000D_ recta Tropical (Los reales unión infinito) y valoraciones clásicas_x000D_ (sobre los reales). En 1932 W. Krull extendió la definición clásica_x000D_ de valoración a valoraciones sobre un grupo ordenado arbitrario. La_x000D_ definición de Krull [KRULL] es la que se usa actualmente en álgebra_x000D_ conmutativa y geometría algebraica (Ver por ejemplo [ZAR,_x000D_ SPIV,EISE])._x000D_ _x000D_ Extender los conceptos de geometría tropical a grupos arbitrarios_x000D_ crea nuevas (y bonitas) preguntas, además abre una nueva forma de_x000D_ entender las valoraciones de rango arbitrario (valoraciones de_x000D_ Krull) sobre campos de funciones._x000D_ _x000D_ * Extensión de las nociones de abanico de Groebner y variedad tropical a ideales diferenciales._x000D_ _x000D_ El abanico de Groebner fue introducido por Mora y Robiano [Mo-Ro]._x000D_ Assi y Castro extienden esta definición a sistemas de ecuaciones_x000D_ diferenciales lineales [As-Ca]. Esta noción puede extenderse a_x000D_ sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. En este sentido queda_x000D_ mucho por hacer. Ni siquiera es claro que el resultado sea un_x000D_ abanico ya que, al no tener Noetherianidad podría tener un número_x000D_ infinito de conos. Se podría también definir un objeto análogo a la_x000D_ variedad tropical para ideales diferenciales en función de la_x000D_ existencia o no de soluciones de los ideales iniciales._x000D_ _x000D_ El método de Newton [NEW] para curvas algebraicas fue extendido a_x000D_ ecuaciones diferenciales ordinarias por Fine [FINE] y Briot et_x000D_ Bouquet [Br-Bo]. En [Ar-Ca] y [Ar-Ca-Ju] extendimos el algoritmo de_x000D_ Newton a ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales_x000D_ respectivamente. Extender los conceptos de abanico de Groebner y_x000D_ Variedad Tropical a ideales diferenciales abre la puerta a la_x000D_ construcción de un método para encontrar soluciones término a_x000D_ término._x000D_ _x000D_ * Utilizar las herramientas de Geometría Tropical en Teoría de Singularidades._x000D_ _x000D_ Los poliedros de Newton son una herramienta fundamental en teoría de_x000D_ singularidades. Cuando se considera la valoración trivial, la_x000D_ variedad tropical asociada a una hipersuperficie no es más que el_x000D_ dual del poliedro. La geometría Tropical nos da el lenguaje_x000D_ apropiado para extender a ideales arbitrarios los resultados ya_x000D_ existentes. En lugar de trabajar con los polígonos se trabaja con_x000D_ sus abanicos duales, y en lugar de hablar de ecuaciones restringidas_x000D_ a lados se habla de ideales iniciales._x000D_ _x000D_ Las singularidades Newton no degeneradas son singularidades_x000D_ intersección completa con un sistema de generadores cuyos poliedros_x000D_ de Newton cumplen una condición de no-degeneracidad. Estas_x000D_ singularidades tienen propiedades muy interesantes. Por ejemplo_x000D_ poseen una resolución tórica. Con el lenguaje de la geometría_x000D_ tropical daremos una definición más sencilla que no depende de los_x000D_ generadores y que incluye a singularidades no intersección completa._x000D_

Las técnicas de Geometría Tropical están produciendo avances en campos muy diversos de la matemática. Estamos convencidos de que la extensión de estas técnicas será beneficiosa en este sentido._x000D_ _x000D_ El proyecto formará un grupo de estudiantes tanto en Geometría_x000D_ Tropical como en Teoría de Singularidades._x000D_ _x000D_ Varios miembros de la comunidad matemática mexicana procedentes de_x000D_ distintas áreas han mostrado interés en aprender las técnicas de_x000D_ Geometría Tropical. Los investigadores extranjeros invitados dentro_x000D_ de este proyecto impartirán cursos y seminarios.