La propuesta de proyecto de investigación que aquí presento tiene como finalidad el estudio de la emergencia de movimiento colectivo (patrones de movimiento global de grupo), en sistemas conformados por N agentes brownianos que tienen la capacidad de autopropulsarse y que están en interacción mútua. Estos sistemas son de particular interés en Física Estadística y tienen un enorme potencial de aplicación en muchas áreas de la ciencia, principalmente en Biología, Sociología y Ecología. Se pretende establecer la conexión entre las propiedades de transporte del sistema que resultan de los efectos conjuntos de características de no-equilibrio, con particular enfásis en la autopropulsión y la interacción social entre agentes, es decir, en la interacción que induce comportamientos o conductas sociales como lo hace la fuerza de "alineación." Esta última tiende a rotar la dirección de movimiento de un agente en la dirección de movimiento promedio de los vecinos que lo circundan. Para llevar a cabo esta propuesta se prentende: i) encuadrar los sistemas de muchos agentes brownianos, autopropulsados y en interacción, dentro del marco teórico de la Física Estadística de no-equilibrio, esto es, se pretende determinar la existencia de relaciones de fluctuación-disipación en los posibles estados estacionarios y establecer una conexión con el promedio del cuadrado del desplazamiento y la posibilidad de que el sistema presente el fenómeno de difusión anómala; ii) Obtener información valiosa respecto de las propiedades de transporte de estos sistemas al analizar el problema de la exploración de territorio por N agentes brownianos autopropulsados; y finalmente iii) realizar un análisis de la producción de entropía en las fases de movimiento coherente, así como determinar el origen físico de estas en relación con la interacción entre agentes. De manera más ambiciosa, se pretende establecer los límites teóricos en relación a los elementos mínimos esenciales del sistema, como dimensionalidad, naturaleza de la interacción, simetrías, etc., que permitan predecir cualitativa y cuantitativamente, la emergencia de movimiento colectivo y posiblemente la emergencia de la difusión anómala.

Uno de los aspectos más importantes de esta propuesta es el énfasis de los efectos debidos a la interacción entre agentes autopropulsados, en las propiedades de transporte, en este proyecto se pretende dilucidar la conexión entre los efectos de interacción entre agentes y la posibilidad de que el sistema presente difusión anómala. Partimos de la conjetura que las correlaciones inducidas por interacciones sociales en el movimiento de los agentes, pueden dar origen al fenómeno de la difusión anómala. En diversos modelos de “flocking", el sistema puede transitar de una una fase de desorden a una fase de movimiento colectivo cuando se varía de manera controlada, y por arriba de un valor crítico, el parámetro que mide el balance entre aleatoriedad en el sistema y la intensidad de interacción entre los agentes. La fase de desorden (cuando la velocidad promedio del grupo es nula) es caracterizada por un régimen púramente difusivo mientras que la fase de movimiento colectivo (la velocidad promedio del grupo es distinta de cero) es caracterizada por un régimen cuasi-balístico. Un análisis de las propiedades de transporte en el punto crítico, en modelos que presentan similares transiciones de fase es de particular importancia. En partícular la realización de un análisis detallado del MSD, el cual dará indicación de difusión anómala, es necesario en la presente propuesta. Otro elemento importante de la presente propuesta es la descripción de la evolución temporal de estados que inicialmente se encuentran en una fase de desorden y terminan en una fase de movimiento colectivo. Y estudiar la posibilidad de caracterizar la evolución a través de la producción de entropía. En partícular, explorar la posibilidad de encontrar principios generales, universales, respecto a la evolución temporal de los sistemas. Para ser más precisos se quiere explorar la posibilidad de establecer principios de producción de entropía. Un aspecto de importancia que estudiaremos y que es novedoso en sí, es el análisis de las propiedades de transporte analizando al problema, no trivial, de describir el territorio explorado por un conjunto de agentes en interacción social. El problema ha sido analizado en el límite de caminantes aleatorios independientes [31-35] en redes discretas de dimensión (generalmente) dos, es decir, en el límite de interacción nula y en espacio y tiempo discretos. Así, son 3 aspectos distintos que consideramos y que generalizan el problema de la exploración territorial por N agentes: i) continuidad en el espacio y tiempo, se puede considerar que una descripción realista del problema requiere una descripción continua del espacio y del tiempo. Esta modificación requiere el empleo de agentes brownianos, que por su formulación matemática son descritos en espacio y tiempo continuos. ii) la autopropulsión de los agentes; está característica es de importancia en casos partículares y no puede ser incorporada de manera simple en caminantes aleatorios. Por último, iii) su interacción entre los agentes. Este último elemento es importante, pues son los efectos de la interacción en el problema lo que se quiere analizar. Las métodos de la presenta propuesta para implementar el estudio y análisis de estos sistemas permitirán el desarrollo de nuevas ideas, conceptos y técnicas de computo aplicables al estudio de las propiedades de transporte de grupos “sociales” (forrajeo de animales, diseño de vias de escapes, etc.).