Los grupos cuánticos aparecieron por primera vez en los trabajos de L.D. Faddeev y sus discípulos, P.P. Kulish, N. Yu. Reshetikhin, E.K. Sklyanin, como una herramienta para resolver modelos integrables cuánticos. Un evento más importante fue el descubrimiento por V.G. Drinfeld y M. Jimbo de una clase de álgebras de Hopf que pueden ser consideradas como las deformaciones cuánticas de las álgebras de Lie simples sobre el campo de los números complejos. Casi a la vez S.L. Woronowicz desarrolló su teoría de los grupos cuánticos compactos de seudo-matrices. La teoría de Yu. I. Manin de cuantización de las álgebras de funciones regulares definidas en grupos algebraicos nació aproximadamente en el mismo tiempo. El enfoque algebraico con herramientas de investigación profundas y muy poderosos fue propuesto por G. Lusztig. En el desarrollo de este enfoque aparecieron varias estructuras algebraicas nuevas relacionadas al concepto de grupo cuántico. El término ?grupos cuánticos? fue popularizado por V.G. Drinfeld en su conferencia en el Foro mundial de matemáticos en Berkeley (1986). En su enfoque algebraico este término está relacionado a algunas álgebras de Hopf especiales que son cuantizaciones no triviales de las álgebras envolventes universales de las álgebras de Lie semisimples o a las cuantizaciones de las álgebras de funciones regulares definidas en grupos algebraicos.

FILTRACIÓN CO-RADICAL Y EL RANGO CMBINATORIO. En este proyecto, continuamos con la investigación del rango combinatorio que comenzamos en [KA05] y [KD11]. La contribución del proyecto será calculación del rango combinatorio para la versión multiparamétrica de los grupos cuánticos pequeño de Lusztig de tipo C_n,D_n,G_2,F_4,E_6,E_7,E_8. Con el fin de hacer esto, planeamos encontrar la fórmula explícita del co-producto por medio de una inmersión de los dichos grupos cuánticos al álgebra de Suflé en una forma explícita. Hasta hoy estas fórmulas han sido encontradas solo para los casos A_n, ver [KA05], y B_n, ver [Kha11]. OPERACIONES CUÁNTICAS. La noción del rango combinatorio define naturalmente una jerarquía de las operaciones cuánticas de Lie. Nuestro contribución será la caracterización de las operaciones cuánticas del rango mayor que 1 iniciando con las operaciones de una, dos, tres o cuatro variables. Tal que las operaciones del rango mayor que uno son identidades condicionales, tenemos que estudiar y aplicar métodos de la Teoría de Modelos relacionadas a las variedades condicionales. Por medio del uso de computadoras planeamos encontrar el número total de las operaciones cuánticas básicas del rango dado, o bien, encontrar las fórmulas explícitas para este número. SUBALGEBRAS. Investigar las subálgebras de Hopf de las álgebras de Hopf generadas por elementos primitivos torcidos. La contribución planeada en este tema es encontrar condiciones cuando una subálgebra tiene generadores primitivos torcidos usando la metodología de subálgebras co-ideales de derecha. Iniciar con construcción y análisis de los subálgebras que no permiten generadores de este tipo. La existencia de los ejemplos de este tipo fue declarada en el articulo [KD11] pero sin la prueba detallada. Tal que todos las subálgebras de Hopf de los grupos cuánticos generadas por elementos primitivos torcidos son puntiagudas, esta investigación tiene que ver con la conjetura de N. Andruskiewitsch, H.-J. Schneider [AS10]: Cada algebra de Hopf puntiaguda de dimensión finita tiene generadores primitivos torcidos. La conjetura fue probada parcialmente en el artículo reciente [AG12]. En nuestro proyecto consideramos no solo álgebras de dimensión finita, sino también las álgebras de dimensión infinita con un número finito de los generadores. IDENTIDADES POLINOMIOS CON OPERADORES. Análisis de las identidades generalizadas de los anillos primos con operadores que pertenecen a un grupo cuántico pequeño de Lusztig. Basándonos en la información obtenida, probar que los operadores de la derivación torcida del grupo cuántico de Lusztig dado son algebraicamente independientes o, bien, investigar todas las dependencias posibles. Después aplicar los resultados obtenidos a la Teoría de Galois para acciones de los grupos cuánticos. ALFABETOS DE CÓDIGOS. Aunque la mayoría de los resultados de la teoría de los grupos cuánticos está probada para el caso del campo básico de la característica cero, para necesidades de la teoría de los códigos es importante considerar las álgebras sobre un campo finito que nunca tiene la característica cero. Por lo tanto la contribución en esta línea es la revisión de los resultados básicos de la teoría de los grupos cuánticos con fin de aprender cuáles de ellos permanecen válidos para los campos finitos y cuáles obtienen modificaciones en este caso particular. Después planeamos determinar la estructura formal de los códigos cíclicos sobre anillos de Frobenius finitos cuya longitud sea arbitraria así como estudiar la estructura combinatoria de éstos últimos. Dentro de la teoría de los anillos finitos de Frobenius, la investigación se enfocará a aquellos relacionados a los grupos cuánticos pequeños de Lusztig y sus subálgebras co-ideales de derecha. TEORÍA DE GALOIS. Tal que cada grupo cuántico es un álgebra de Hopf, podemos utilizar los conceptos y resultados de la Teoría de Galois desarrollada para álgebras de Hopf. La contribución en esta área será una aplicación de los resultados obtenidos anteriormente sobre identidades polinomios con operadores. Esto debe dar una oportunidad para resolver algunos problemas abiertos de la Teoría de Galois cuando menos en el caso de acción de los grupos pequeños de Lusztig o, bien, en el caso general. Una de los problemas abiertos es la equivalencia de los dos conceptos de la acción interna: una fue introducida por Milinski especialmente para construir la correspondencia de Galois y otra aparece en la teoría general de las acciones. Este problema es actual tal que normalmente se aparecen acciones internas en sentido general y no es claro cómo aplicar la correspondencia de Galois. En el caso de que se puede probar la equivalencia, o bien, encontrar las ramas amplias de esta equivalencia, la aplicación va ser muy simple y efectiva.