El objetivo de este proyecto es el de explorar las conexiones y las extensiones de teoremas clásicos de la geometría combinatoria en conjuntos convexos, variedades topologicas y la teoria de matroides. Con el fin de alcanzar este objetivo se incluyen en este proyecto investigadores consolidados expertos en estas áreas (nacionales y extranjeros), investigadores jóvenes cuyas trayectorias expresan interés y conocimiento en este tema y estudiantes que se beneficiarán directamente de incursionar en esta área naciente y pujante de la geometría combinatoria. En particular estamos interesados en los siguientes problemas concretos: 1. El Teorema de Helly coloreado dice que si F_1,. F_{d+1} son d+1 familias de conjuntos convexos en el espacio euclidiano de dimensión d tales que para toda elección de conjuntos E_1 en F_1, E_2 en F_2,. E_{d+1} en F_{d+1} se cumple que la intersección de los conjuntos {E_1,., E_{d+1}} es no vacia, entonces existe 1?i?d+1 tal que la interseccion de todos los convexos en la familia F_i es no vacia.Por otra parte L. Montejano demostró recientemente un equivalente topológico de teorema de Helly, que dicta que en un espacio topológico X con la propiedad de que H*(U) = 0, for * = d para todo subconjunto abierto U de X, una familia finita de abiertos en X, tiene intersección no vacía si para toda subfamilia finita de abiertos en X de tamaño j, con 1 = j = d+1, el grupo de homología reducido (d - j)-dimensional de su intersección es cero, donde H_{-1}(U) = 0 si y sólo si U es no vacío. Es en este sentido que queremos demostrar un equivalente topológico del Teorema de Helly coloreado. 2. El teorema de Tverberg tolerado dice que existe n(d, k, t) tal que todo conjunto de puntos X de n puntos en posición general tiene una partición en k conjuntos A_1, . A_k tal que la intersección de todos los conjuntos conv(A_i \ Y) con i=1,.,k es no vacia, para todo Y ? X tal que |X|=k.Por otra parte ha probado la siguiente extension del teorema de Caratheodory coloreado: Sea M un matroide orientado y N un matroide con function de rango ?, ambos definidos en el mismo conjunto base V tales que satisfacen rk(M) < rk(N). Si todo A ? V con ?(V - A) < rk(M) contiene un circuito positivo de M entonces algún conjunto independiente de N contiene un circuito positivo de M., then some independent set of N contains a positive circuit of M. Es interesante explorar si existe una extension similar del teorema de Tverberg en matroides orientados. 3. Una variación de el teorema de Tverberg en el plano (como en el enunciado del problema anterior con t=0, d=0 ) implica lo siguiente: Dado un conjunto de 9 puntos en el plano existe una partición de los vértices en tres triángulos cuyos cascos convexos se intersectan. Considérese ahora un conjunto de N puntos ordenados (por ejemplo) según la primer coordenada. La variación del teorema de Tverberg junto con el orden de los puntos inducen un mapeo de X = {Los subconjuntos de N de tamaño 9} en [3]^9. A consecuencia del teorema de Ramsey, se infiere que existen subconjuntos de puntos moderadamente grandes, en los cuales, este mapeo es constante. Un problema interesante es caracterizar los valores que dicho mapeo puede tener. Evidentemente no se plantea que en este proyecto se trabaje exclusivamente en estos problemas. Estamos seguros que a partir de las investigaciones en estos problemas surgirán nuevos, interesantes y fructíferos rumbos de investigación relacionados.

-Se obtendrán resultados, publicables en revistas de primera línea. - Se fortalecerá la vinculación que existe entre los temas de las matemáticas discretas, convexidad y geometría. - Siendo el tratamiento de los problemas propuestos en éste proyecto parte de una tendencia mundial en el área por estudiar dichos problemas de manera cada vez más general. - Se favorecerá el desarrollo de estas áreas tanto en México como en el extranjero. - Se vinculará permanentemente a los investigadores y estudiantes nacionales con los extranjeros (talleres, estancias de investigación, conferencias). - Se impulsará la formación de recursos humanos; en especial la formación de estudiantes nacionales y su vinculación con investigadores extranjeros.