El proyecto propuesto consta de dos partes: I.- El estudio de problemas de adyacencia en digráficas, en particular, la propiedad de que una digráfica sea 3-existencialmente cerrada. Un torneo T con n vértices es k-existencialmente cerrado si para todo conjunto S de k vértices de G y todo subconjunto W de S, existe un vértice u que no pertenece a S, tal que u está en la exvecindad de todos los vértices de W y u está en las invecindades de todos los vértices de S\W. II.- El estudio de propiedades e invariantes de la gráfica G’ de la relación de equivalencia de una gráfica G. Sea G una gráfica, definimos R la siguiente relación de equivalencia en el conjunto de vértices de G: x está relacionado con y si tienen el mismo conjunto de vecinos. Definimos G’ la gráfica cuyos vértices son las clases de equivalencia de R y tenemos una arista entre dos vértices X y Y si y sólo si existe x in X y y en Y tal que en G hay una arista de x a y. A G´ la llamaremos la gráfica de la relación de equivalencia de G. Los problemas a resolver serán los siguientes: - Búsqueda de una familia infinita de digráficas que sean 3-existencialmente cerradas. - Búsqueda de una operación de digráficas que preserve la propiedad de ser 3-existencialmente cerradas. - Estudio de invariantes (conexidad, hamiltoneidad, etc) de la gráfica G’ de la relación de equivalencia de G. - Relaciones entre una gráfica G y la gráfica G’ de la relación de equivalencia.

Como podemos ver en los antecedentes del proyecto (problema I), la propiedad Pk para torneos ha sido estudiada para el caso k=1,2. Para k mayor o igual que tres, el problema no ha sido resuelto. Inclusive, para la propiedad Sk, que claramente es una condición necesaria para tener la propiedad Pk, se conocen las cotas dadas por Erdös, Szekeres y Graham, pero por ejemplo, no existen pruebas no computacionales de que el torneo de Paley de orden 67 (el mínimo conocido hasta ahora ) tiene la propiedad S4. Por lo tanto, cualquier familia infinita de 3-ec torneos u operación de digráficas que preserve dicha propiedad tendrá un gran impacto en este tipo de problemas. Con respecto al estudio de invariantes de G’ la gráfica de la relación de equivalencia de G, así como las relaciones entre ambas, estamos hablando de un campo totalmente virgen, ya que aunque este es un caso particular de gráficas de intersección (como las gráficas de clanes), hasta donde sabemos, G’ no ha sido abordada hasta el momento, por lo que cualquier aportación que podamos hacer en este sentido será de gran relevancia para trabajos futuros.