El proyecto consiste en aplicar técnicas de teoría de grupos para la descripción espectroscópica de moléculas y de colisiones moleculares. Para ello se emplean modelos algebraicos basados en álgebras de Lie para expresar el Hamiltoniano y cualquier otra variable dinámica en términos de los generadores del grupo dinámico del sistema. De esta forma las técnicas algebraicas proveeen además de una base para llevar a cabo la diagonalización del Hamiltoniano, así como para efectuar el cálculo de intensidades de transición. Por otra parte, los sistemas moleculares que se analizan tienen simetría geométrica, la cual permite simplificar el análisis. Así pues, dentro de nuestras descripciones se toman en cuenta las técnicas avanzadas de teoría de grupos aplicada a simetrías discretas para tomar ventaja de ello. Para fines de análisis rovibracional, las moléculas se clasifican en rígidas y semirrígidas. Estas últimas pueden ser lineales, planares o de una configuración geométrica arbitraria, pero en todos los casos está bien definida una sola configuración de equilibrio. En contraste, las moléculas no rígidas presentan varios mínimos estructurales y su principal objetovo para su decripción consiste en obtener el potencial asociado a la transición entre los mínimos. En cualquier caso, sin embargo, uno de los principales problemas de este tipo de métodos es la dificultad en establecer una conexión con los métodos tradicionales en el espacio de coordenadas. En los últimos diez años se han hecho avances considerables en el establecimiento de la conexión entre los métodos algebraicos y las descripciones tradicionales en el espacio de configuración. En particular dicha conexión para el modelo su(2) es exacta, pero no así para los modelos U(3) y U(n+1). Sin embargo, se ha logrado establecer un método sistemático para obtener Hamiltonianos algebraicos a partir de los Hamiltonianos en el espacio de configuración, siempre que la poliada se preserve. Recientemente, sin embargo, se ha propuesto utilizar la conexión establecida para tomar en cuenta coordenadas curvilineas, las cuales son relevantes en situaciones en la que la descripción en términos de osciladores harmónicos deja de ser útil. El objetivo del proyecto tiene las siguientes vertientes: 1.- Simetría y Degeneración. Se estudiará la degeneración de una partícula en una caja cúbica con paredes infinitas. El objetivo es el de establecer el grupo de simetría junto con sus representaciones irreducibles que explique las degeneraciones existentes. Este trabajo dará origen a una tesis de licenciatura. 2.- Métodos Algebraicos y Superficies de Energía Potencial. Aquí se estudiarán varios sistemas moleculares con el propósito de establecer la viabilidad de nuestros métodos para calcular constantes de fuerza mediante el uso de los métodos algebraicos arriba mencionados tanto en moléculas con comportamiento local como normal. En particular se estudiaran las moléculas FCN,CO2,HCCF,HCCH,XeF4 y moléculas del tipo AB3. 3.- Fundamentos en Vibraciones Moleculares. Este proyecto tiene como objetivo el de planter la transición local-normal en términos de un rompimiento de la poliada, lo cual a su vez está conectado con la aparición de caos. 4.- Colisiones Moleculares. Se planea extender el modelo algebraico recientemente propuesto en una dimensión al caso tridimensional. Esto se hará para el caso de la colisión entre un átomo y una molécula diatómica. 5.- Moléculas no Rígidas. Se planea describir la molécula no rígida CH3CNO mediante el modelo U(3).

El proyecto puede ser dividido en cinco rubros, los cuales caracterizan un área particulas de la aplicación de los métodos de simetría a sistemas moleculares. Así pues empezaremos por establecer la contribución del proyecto a cada uno de estos rubros. 1.- Simetría y degeneración. La simetría de los sistemas se refleja en la degeneración de su espectro. A mayor simetría mayor degeneración. Ahora bien, la simetría se especifica mediante el conjunto maximal de transformaciones que dejan invariante el sistema, o en forma precisa, que conmutan con el Hamiltoniano. Estas transformaciones constituyen el llamado grupo de simetría. La degeneración de los niveles de energía del espectro resultante se espera concuerde con la degeneración de la correspondiente representación irreducible. Cuando éste no es el caso se dice que se presenta degeneración accidental. Sin embargo, cuando este tipo de degeneración aparece en forma sistemática, entonces es un indicativo de que el grupo de simetría supuesto es un subgrupo y la tarea consiste en encontrar el verdadero grupo de simetría. Un ejemplo clásico de este tipo se situaciones lo presenta el átomo de hodrógeno. En primera instancia el grupo de simetría de este sistema es el de rotaciones SO(3), pero un análisis cuidadoso conduce al grupo O(4). Los estados con igual número cuántico principal y deferente momento angular se conectan mediante transformaciones en cuatro dimensiones. Un ejemplo más simple, pero poco discutido en la literatura es el de una partícula en una caja cuadrada con paredes infinitas [1,2]. Aquí también se presenta degeneración accidental sistemática, aunque de dos tipos. Una pitagórica y otra debido a la existencia de una transformación adicional que conecta los estados degenerados, análoga al vector de Runge-Lenz en el átomo de hidrógeno. La transformación que da origen a esta última degeneración ya fue identificada, más no así la pitagórica. Una situación análoga se presenta al analizar el espectro de una partícula atrapada en una caja cúbica con paredes infinitas. Aquí todos los niveles presentan degeneración accidental si se asume a O_h como el grupo de simetría. De igual forma aparecen dos tipos de simetría, la pitagórica y la debida a la presencia de transformaciones adicionales. La contribución del proyecto consiste en coadyuvar a la comprensión de la degeneración accidental que presenta una partícula cuántica atrapada en una caja cúbica de paredes infinitas. 2.- Métodos Algebraicos y Superficies de Energía Potencial. Aquí se estudiarán las moléculas FCN, CO2, HCCF, HCCH, XeF4 y moléculas del tipo AB3, con el propósito de establecer la viabilidad de nuestros métodos para calcular constantes de fuerza mediante el uso de los métodos algebraicos. Cada una de estas moléculas tiene comportamiento peculiares que las hace por sí mismo interesantes, como son la aparición de modos espurios. Al describir todos los grados de libertad habrá modos normales y otros locales. La ventaja de estos métodos es que son sumamente económicos computacionalmente, de modo que pueden ser usados para estimar sonstantes de fuerza y al análisis de asignaciones en espectroscopía Raman e infrarrojo. 3.- Fundamentos en vibraciones moleculares Las moléculas pueden tener un comportamiento normal o local. El comportamiento local logró describirse como un conjunto de osciladores anarmónicos interactuantes. Esta descripción es factible siempre y cuando las masas entre los enlaces sea considerable, de modo que el Hamiltoniano del sistema consiste de una contribución digonal y otra que no lo es, pero que preserva la poliada. En sistemas en que las masas son similares, como el bióxido de carbono, la poliada no se conserva, pero aún así es posible describir el sistema en términos de osciladores anarmónicos interactuantes a través de una transformación unitaria y un proceso de anarmonización. Esta descripción se puede conectar con un Hamiltoniano que no conserva la poliada. Nuestra contribución consiste en analizar estos Hamiltonianos para encontrar la transición que establece el rompimiento de poliada y que está conectado con la transición local-normal y la aparición de caos cuántico. Se han establecido criterios de transición local-normal en términos de los parámetros de las interacciones una vez que se ha efectuado el ajuste de niveles de energía, y sólo para sistemas con masas diferentes. Es posible sin embargo generalizar este concepto a sistemas que involucran masas similares, vomo se propone en este proyecto. 4.- Colisiones Moleculares. En los últimos años propuso un modelo para describir colisiones colineales moleculares [3,4]. Mediante este modelo se describió con éxito las colisión entre un átomo y un oscilador de Morse, y posteriormente se extendió el modelo al caso de colisiones entre moléculas diatómicas. Una de las ventajas de este modelo es que es posible tomar en cuenta la temperatura del sistema. Por otra parte tiene la limitante de ser establecido para colisiones en una dimensión. Una contribución al proyecto será la de estudiar un sistema en donde se tome en cuenta la temperatura del sistema tanto en los grados de libertad cuánticos (vibraciones) como clásicos (traslaciones). Además se planea extender el modelo algebraico recientemente propuesto en una dimensión al caso tridimensional. Esto se hará para el caso de la colisión entre un átomo y una molécula diatómica. 5.- Moléculas no Rígidas. La molécula CH3NCO tiene la caratcerística de presentar dos modos de gran amplitud. Uno de ellos correponde a la rotación del grupo metilo CH3, mientras que el segundo es una vibración del grupo CNC. Se planea describir esta molécula mediante un procedimiento mixto en el que las vibraciones debidas a CNC serán descritas por el grupo dinámico U(3), mientras que para las rotaciones internas se usara un método a primeros principios para generar el potencial junto con una base adaptada por simetría. Bibliografía [1] F.Levraz, A.Frank, R.Lemus, M.Andres, "Accidental degeneracy and symmetry group for a particle in an impenetrable square well potential" , Am.J.Phys. 65(1997)1087-1094. [2] R.Lemus,A.Frank, M.V. Andrés and F. Leyvraz, ``Accidental degeneracy and Hidden symmetry: Rectangular Wells with commensurate sides''. Am.J.Phys. 66(1998)629-631. [3] O.Álvarez-Bajo, R.D.Santiago, R.Lemus, J.M.Arias, J.Gómez-Camacho y M. Rodriguez-Gallardo," An algebraic model to describe atom-diatom inelastic collisions in the semiclassical approximation". J.Phys.B, 40 (2007) 4513-4527 [4] R.D.Santiago, O.\'Alvarez-Bajo, R.Lemus, J.M.Arias, J.G\'omez-Camacho y M. Rodriguez-Gallardo," Algebraic description of the inelastic collision between an atom and a Morse oscillator in one dimension". J.Phys.B, 41 (2008) 145203 (10pp).