Uno de los temas que se plantea estudiar en el proyecto es la llamada Cuantización Polimérica. Este procedimiento permite construir una cuantización alternativa a la usual que evita el teorema de Stone-von Neumann que nos dice que cualquier representación irreducible de la Mecánica Cuántica es unitariamente equivalente a la de Schroedinger [1]. Este teorema tiene importantes consecuencias dentro de la cosmología cuántica dado que implica que la cuantización de teorías cosmológicas es equivalente a la realizada usando la ecuación de Wheeler-DeWitt. El problema que se encuentra es que esta cuantización no permite evitar las singularidades que se presentan en las teorías cosmológicas clásicas. Una forma de evitar este problema es introduciendo precisamente la llamada cuantización Polimérica. Este procedimiento de cuantización evita el teorema de Stone-von Neumann en el sentido que asume que los parámetros asociados al grupo de Heisenberg no son débilmente continuos. En consecuencia esto implica que no es posible representar al operador de momento como un operador diferencial y que sólo tiene sentido la acción sobre los estados con un elemento del grupo de Heisenberg el cual genera una traslación finita. Uno de los objetivos fundamentales de este proyecto es analizar con mayor profundidad las consecuencias de la aproximación semi-clásica utilizando el método de cuantización de la integral funcional. Una de las características interesantes de este método es que permite extender con facilidad cálculos realizados a nivel de mecánica cuántica al caso de teoría cuántica de campos y en consecuencia estar más cerca de lo que podría ser una teoría cuántica de la gravedad. Los objetivos específicos en esta parte del proyecto serán: Primero analizar con profundidad la cuantización Polimérica utilizando integrales de trayectoria, comenzando desde los sistemas más simples como son: la partícula parametrizada, la partícula relativista y modelos cosmológicos. En segundo lugar se tratara de extender este formalismo al caso de teoría de campos específicamente en el caso del campo escalar, el campo de Dirac y el campo electromagnético para ver si en estos problemas aparecen propiedades interesantes que se puedan aplicar en la construcción de una teoría cuántica polimérica de la gravedad. También se plantea utilizar el principio de acción de Schwinger y se tratará de establecer si existe alguna relación entre la cuantización Polimérica y la cuantización para sistemas discretos propuesta hace varios años por Schwinger. Por otra parte, uno de los resultados más importantes que ha dado lugar la teoría de cuerdas es sin lugar a dudas la llamada dualidad norma/gravedad [11]. Uno de los sistemas donde ha sido aplicada la dualidad es en las teorías llamadas Nuevas gravedades masivas [21] y se ha mostrado que tienen relación con teorías de campo de orden superior. Esto ha traído una nueva luz en el contexto de cuantizar teorías de orden superior y se ha mostrado que existe un mecanismo para truncar la teoría y hacerla unitaria. Este es un problema fundamental dentro de las teorías de orden superior y es de gran importancia entender si este mecanismo sólo es aplicable en espacio de AdS o puede extenderse a otro tipo de espacios. Un este proyecto se estudiará estos mecanismos en el contexto más simple (mecánica cuántica) y se tratará de ver si aquí es posible definir un mecanismo de truncamiento unitario.

La dualidad norma/gravedad y la cuantización polimérica son dos temas de actualidad dentro de la física teórica. En lo que respecta a la cuantización polimérica se atacara el problema utilizando integrales de trayectoria, una de las grandes ventajas de este procedimiento es que los problemas de ordenamiento se reducen en gran medida lo que facilita la implementación de la cuantización. Además, dentro de este contexto es mucho más fácil reconocer problemas de tipo global. Uno de los puntos interesantes del proyecto es precisamente aclarar alguno de estas características. Por ejemplo, en la ref. [9], donde se estudia la integral de trayectoria, se olvida que debido a la partición siempre existe la diferencia de una integral, en este caso de una suma, entre el espacio de momentos y coordenadas. Por lo que al resultado final de la amplitud le falta una suma. En el caso usual esta suma permite lograr la equivalencia entre el resultado encontrado por métodos canónicos y el encontrado mediante la integral de trayectoria. Así, es relevante ver qué sucede en el caso polimérico. Por otra parte, el estudio de las teorías de orden superior es muy viejo. Sin embargo, el nuevo enfoque que le da la dualidad norma/gravedad es extremadamente interesante. Aquí, además se tiene contacto con uno de los grupos líderes en el mundo en este estudio, por lo que el proyecto y los estudiantes asociados a él estarán a la cabeza en el mundo en lo que respecta a estos temas y el proyecto nos proporcionara los medio económicos para que nuestros estudiantes logren el roce internacional necesario. Así, se espera que el proyecto pueda producir entre dos o tres artículos por año y que estos sean expuestos en los foros internacionales necesarios. Por otra parte se espera que el proyecto produzca una tesis doctoral terminada, otra con un avance considerable y además entre uno o dos tesis de licenciatura.