En este proyecto nos concentraremos en dos líneas de investigación sobre coeficientes de Kronecker. En la primera línea continuaré el trabajo desarrollado con Pedro Sánchez hasta ahora. Recordemos que g(la,mu,nu) no cambia al permutar las particiones la, mu y nu. Entonces podemos ver a g(la,mu,nu) como la multiplicidad de V_mu en el producto de Kronecker de V_la con V_nu. Nos interesa el caso cuando la y nu tienen longitud 2, es decir, dos partes. Este caso, a pesar de la serie de trabajos [BO1], [BO2], [BvWZ], [RW], [STW], [Th], aún no está resuelto satisfactoriamente. Se conoce lo siguiente: si mu tiene longitud uno o dos, el coeficiente se calcula fácilmente; si mu tiene longitud mayor a cuatro el coeficiente es cero. Quedan dos casos: cuando mu tiene longitud 3 o 4. Me referiré a ellos como los casos 2x3x2 y 2x4x2. Demostré en [V7] que el caso 2x4x2 se reduce al caso 2x3x2. Por lo tanto para calcular la descomposición V_la por V_nu en irreducibles, basta calcular el caso 2x3x2. Este será el objetivo de la primera línea del proyecto. Más precisamente, el cálculo de g(la,mu,nu) se divide en dos casos: el estable y el no estable. El primero es más sencillo. Continuaré entonces el trabajo iniciado con Pedro Sánchez en el proyecto anterior y calcularemos el coeficiente g(la,mu,nu) en el caso estable 2x3x2. Este cálculo depende de ciertas desigualdades lineales entre las partes de las particiones. Debido a ellas surgen numerosos casos; para cada uno de ellos hay una fórmula distinta de g(la,mu,nu). En el caso no estable el número de casos crece demasiado como para dar una fórmula explícita en cada uno de ellos (nadie ha podido hacerlo, el único intento publicado de dar una fórmula general tiene errores que no han sido posibles de corregir). Sin embargo, el método que hemos estado desarrollando deberá permitir calcular g(la,mu,nu) en el caso no estable 2x3x2 con relativa facilidad para valores numéricos de las tres particiones. Creo que este enfoque dará una respuesta más completa y satisfactoria que las que se han dado hasta ahora. Varios colegas han encontrado que cuando uno o más particiones tienen sus partes iguales los coeficientes de Kronecker correspondientes son más sencillos de calcular. Nuestro enfoque explica esto de manera geométrica ya que en estos casos la dimensión de los politopos de fila y columna disminuye. La segunda línea de investigación de este proyecto consiste en aplicar el método gráfico que he desarrollado en los últimos meses para calcular cuadrados de Kronecker a la conjetura de Saxl. He definido unos polinomios con coeficientes racionales en variables indexadas por diagramas de Young sesgados conexos, cuyos coeficientes de calculan de manera combinatoria. El método que he estado desarrollando permite calcular el coeficiente g(la,la,nu), para cualesquiera la y nu, al evaluar el polinomio mencionado arriba(que depende escencialmente de nu) en ciertos números que dependen del diagrama de Young de la partición la (llevo ya escrito un manuscrito preliminar de 30 páginas). Creo que estos polinomios serán mucho más sencillos cuando la es la partición escalera y nos darán información útil para avanzar en la conjetura de Saxl.

Este proyecto espera contribuir con nuevos resultados a un problema importante en combinatoria algebraica y teoría de representaciones: el de dar nuevas maneras de comprender y calcular coeficientes de Kronecker. Una nueva línea de investigación desarrollada por el responsable es la de los politopos de fila y columna. Con ella esperamos obtener nuevos cálculos de coeficientes de Kronecker en un caso que ha sido estudiado por varios autores, pero no está completamente resuelto. Otra línea es la aplicación de un nuevo método: el método gráfico para atacar la conjetura de Saxl.