(1) Categorificación de la estructura de conglomerado para celdas unipotentes en el caso no simétrico. Como mencionamos en el inciso (1) de ANTECEDENTES, el contexto natural para los resultados de [GLS1] - [GLS4] serían los grupos de Kac-Moody sin la restricción a matrices de Cartan simétricas. Sin embargo, muchos de los métodos desarrollados y usados en estos trabajos no se dejan extender de una forma evidente para esta situación. Por eso, tratamos ahora de dar un primer paso en la construcción de álgebras (de dimensión global infinita) donde la subcategoría de módulos de dimensión proyectiva alo más 1 dan un modelo de la especie del tipo correspondiente, pero sobre un campo algebraicamente cerrado. Este tipo de álgebras aparecen de forma natural en el estudio de los caracteres de la afinización de un grupo cuántico de tipo Kac-Moody. (2) Carcajes con potencial y especies con potencial Estudiaremos la relación que tiene el conteo de puntos de ciertas variedades definidas sobre campos finitos (llamadas "Grassmannianas de carcaj") con la estructura combinatoria y algebraica de álgebras de conglomerado antisimetrizables. Más explícitamente, se verá cómo asociar una representación de una especie con potencial a cada variable de conglomerado de un álgebra de conglomerado fuertemente primitiva, de forma tal que el conteo de puntos de las Grassmannianas de carcaj de la representación dé como resultado los coeficientes de la expansión de la variable de conglomerado dada como polinomio de Laurent (véase el inciso (2) de ANTECEDENTES). Como consecuencia de dicha codificación de información algebro-combinatoria usando objetos de teoría de representaciones, será posible resolver varias conjeturas de Fomin-Zelevinsky [FZ4] (formuladas para álgebras de conglomerado antisimetrizables) en situaciones en las que todavía se encuentran abiertas. Se pretende que los métodos y resultados a obtener generalicen aquéllos obtenidos por Derksen-Weyman-Zelevinsky [DWZ2] en el caso de álgebras de conglomerado antisimétricas y carcajes con potenciales. (3) Triangulaciones de superficies, relaciones skein, y carcajes con potencial Como puede leerse en el inciso (3) de ANTECEDENTES, Musiker-Williams [MW] han establecido relaciones "skein" para curvas sobre superficies de Riemann con puntos marcados. En nuestro proyecto tenemos por objetivo formular y probar relaciones "skein" para las representaciones de los carcajes con potencial asociados por Labardini [LF1] a triangulaciones de superficies. Teniendo las relaciones "skein" para módulos a la mano, podremos demostrar que el candidato a "base genérica" propuesto por Geiss-Leclerc-Schröer [GLS4] es efectivamente una base del álgebra de conglomerado asociada por Fomin-Shapiro-Thurston [FST] a la superficie de Riemann subyacente. (4) Teoría de Teichmüller superior y redes espectrales Como mencionamos en el inciso (4) de ANTECEDENTES, en teoría superior solo existe una conjetura relativamente reciente sobre la descripción de los conglomerados propuesta por los físicos Gaiotto, Moore y Neitzke [GaMN1], [GaMN2]. En este proyecto, un poco más a largo plazo, nos gustaría colaborar en la demostración de esta conjetura.

INVESTIGACION En lo referente a investigación, dentro del proyecto propuesto desarrollaremos relaciones "skein" para pares de módulos sobre álgebras Jacobianas provenientes de superficies, estableciendo así una extensión algebraica de las relaciones "skein" que Musiker-Williams han desarrollado a nivel combinatorio en [MW]. Estudiaremos también la relación que tiene el conteo de puntos de ciertas variedades definidas sobre campos finitos (llamadas "Grassmannianas de carcaj") con la estructura combinatoria y algebraica de álgebras de conglomerado antisimetrizables. Más explicitamente, se verá cómo asociar una representación de una especie a cada variable de conglomerado de un álgebra de conglomerado fuertemente primitiva, de forma tal que el conteo de puntos de las Grassmannianas de carcaj de la representación codifique información algebro-combinatoria relevante relacionada a la variable de conglomerado dada. Como consecuencia de dicha codificación de información algebro-combinatoria usando objetos de teoría de representaciones, será posible resolver varias conjeturas de Fomin-Zelevinsky (formuladas para álgebras de conglomerado antisimetrizables) en situaciones en las que todavía se encuentran abiertas. En el marco del proyecto conjunto con B. Leclerc y J. Schröer sobre celdas unipotentes en grupo de Kac-Moody no necesariamente simétricas nos proponemos lo siguiente: En un primer paso establecemos las propiedades fundamentales de nuestros modelos de especies sobre campos algebráicamente cerrados, en particular la existencia de representaciones rigidas de dimension proyectiva 1 que correspondan a los módulos preproyectivos sobre las especies. De forma similar, contamos con una "candidato" para modelar sobre los complejos el álgebras preproyectiva asociada por Dlab y Ringel [DR2] a una especie (álgebra hereditaria asociada a una matriz de Cartan no simétrica sobre un campo no algebráicamente cerrado). Cálculos preliminares en ejemplos muy pequeños (B_2 y G_2) indican que se puede adaptar la construcción de álgebras envolventes de la parte positiva positiva del álgebra de Lie correspondiente en terminos de funciones constructibles [Lu2] a esta situación. DIFUSION De ser aprobado, el proyecto nos permitirá contribuir con exposiciones en Seminarios y Congresos Internacionales, entre los cuales destacan: "Cluster algebras and related topics", a celebrarse en el Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Alemania, instituto que posee gran reputación a nivel internacional. "Hall and cluster algebras", que tendrá lugar en el Centre de recherches mathématiques, Montreal, Québec. De esta manera, contribuiremos en la difusión de temas de investigación matemática hecha en México. DOCENCIA Y FORMACIÓN DE RECURSOS HUMANOS En lo que se refiere a docencia, el proyecto nos permitirá contribuir en la formación de jóvenes estudiantes y en la consolidación del grupo de investigación de teoría de representaciones del IMUNAM, mediante un "Seminario de categorías trianguladas" y un "Seminario de tesistas" que llevaremos al cabo semanalmente en el Instituto de Matemáticas de la UNAM. De igual manera, contribuiremos a la formación de los estudiantes del grupo brindándoles la oportunidad de participar en eventos internacionales (específicamente, el encuentro "Hall and cluster algebras", que tendrá lugar en el Centre de recherches mathématiques, Montreal, Québec). Calculamos que Raúl González Silva concluya su doctorado a finales de 2013. Él tiene deseos de continuar so formación con una estancia posdoctoral con el Dr. Raymundo Bautista en el CCM Morelia. Esperamos que una beca de 2 meses le ayude a superar el tiempo entre su titulación y el posible inicio de una beca posdoctoral de DGAPA.