Se ha vuelto un tema central del proyecto el estudio de la topología de las singularidades de variedades dadas por ecuaciones cuadráticas. Junto con esto, tiene importancia continuar el trabajo en algunos los temas del proyecto anterior, si bien otros de estos quedarán necesariamente en suspenso._x000D_ _x000D_ En esta etapa se desarrollará trabajo en las siguientes direcciones:_x000D_ _x000D_ a) Descripción topológica de nuevas variedades dadas por ecuaciones cuadráticas, con lo cual se completa en gran medida el trabajo de C.T.C. Wall ([W]) al caso de parejas de funciones no simultáneamente diagonalizables. Se estudiará también sus implicaciones a la estabilidad topológica de las mismas transformaciones. Este trabajo se lleva a cabo en forma conjunta con Vinicio Gómez Gutiérrez y está en proceso de redacción detallada y de extensión a casos más generales como en el artículo [G-LdM]._x000D_ _x000D_ b) Aplicación de lo anterior a la teoría de homotopía, ya que se encontró que algunas de esas variedades coinciden con ejemplos importantes de Mathias Franz y Volker Puppe (Universität Konstanz, Alemania) sobre cohomología equivariante ([F-P]) y otras de nuestras variedades podrían jugar un papel similar._x000D_ _x000D_ c) Construcción de estructuras de libro abierto en las variedades ángulo-momento y descripción topológica de los elementos que aparecen en esta descomposición. Este trabajo se lleva a cabo en forma conjunta con Yadira Barreto y Alberto Verjovsky (ambos del Instituto de Matemáticas, sede Cuernavaca) y tiene por objetivo el de construir a partir de ellas otras estructuras geométricas en dichas variedades._x000D_ _x000D_ d) Descripción topológica de las variedades definidas por poliedros simples a través del estudio de las transiciones entre los diversos tipos topológicos ("wall-crossing"). Este es un trabajo conjunto con Laurent Meersseman de la Université de Bourgogne (actualmente comisionado en la Universidad Autónoma de Barcelona) y está en sus etapas iniciales._x000D_ _x000D_ e) Estudio de la geometría diferencial de las variedades ángulo-momento (tesis de doctorado de Efraín Vega, en sus inicios) y su relación con algunas variedades de curvatura positiva o baja cohomogeneidad construidos por David Wraith de la Universidad de Maynooth, Irlanda ([Wr], [B-Wr])._x000D_ _x000D_ f) Continuación del estudio de las singularidades en la geometría algebraica y compleja de superficies desarrollado por Adriana Ortiz conjuntamente con Emigdio Martínez. En particular, se trabajará conjuntamente en la búsqueda de aplicar las técnicas y resultados sobre las transformaciones cuadráticas al estudio de algunos conjuntos geométricamente significativos definidos por ecuaciones cuadráticas. Sobre este tema también se está iniciando un intercambio con Grzegorz Gromadzki de la Universidad de Gdansk, Polonia y con Israel Moreno de nuestro Instituto, sección Oaxaca que esperamos cristalice pronto en un trabajo de investigación._x000D_ _x000D_ g) Continuación del trabajo de clasificación de singularidades de funciones reales, complejas e "híbridas" desarrollado por el responsable del presente proyecto conjuntamente con Shirley Bromberg._x000D_ _x000D_ h) Continuación del trabajo sobre las aplicaciones de todo lo anterior a los sistemas dinámicos, especialmente a los de tipo Lotka-Volterra-Kolmogorov (trabajo con Marc Chaperon del Instituto de Matemáticas de Jussieu, y con Genaro de la Vega, Juán Carlos Mendoza y Juan Salvador Garza) y búsqueda de aplicaciones de todo lo anterior en problemas de Física y Biología.

Este proyecto pretende en términos generales contribuir al conocimiento matemático sobre las singularidades de variedades y transformaciones y a desarrollar sus aplicaciones dentro de otras ramas de las Matemáticas y de la Física y la Biología._x000D_ _x000D_ Especificamente se buscará:_x000D_ _x000D_ 1) Avanzar en la descripción topológica de cierto tipo de singularidades de variedades dadas por varias funciones cuadráticas homogéneas. En la medida en que éstas aparecen naturalmente en muchos sistemas dinámicos y proporcionan ejemplos importantes y técnicas útiles para diversas otras ramas de las Matemáticas, los resultados obtenidos pueden tener implicaciones en distintos aspectos de otras ciencias básicas._x000D_ _x000D_ 2) Contribuir a la clasificación de las funciones y transformaciones homogéneas y cuasihomogéneas, tanto reales como complejas, incluyendo los tipos híbridos conocidos como funciones cuasihomogéneas polares._x000D_ _x000D_ 3) Avanzar en la aplicación de la teoría de singularidades al estudio de sistemas dinámicos, especialmente a los de tipo Lotka-Volterra-Kolmogorov vinculados a los modelos ecológicos de interacción de varias especies y a los sistemas con osciladores acoplados como los que aparecen en la modelación de sistemas biológicos o en sistemas físicos con un gran número de osciladores._x000D_ _x000D_ 4) Contribuir a la Geometría Diferencial de superficies y variedades riemannianas mediante los ejemplos y las técnicas surgidas de la Teoría de Singularidades._x000D_ _x000D_ 5) Contribuir a la formación de personal académico a través de seminarios de aprendizaje y de investigación y la dirección de tesis de licenciatura y doctorado._x000D_ _x000D_