El presente proyecto es una continuación de los proyectos PAPIIT IN108802, IN106705, IN101608 y IN102311. Los resultados obtenidos con apoyo de dichos proyectos muestran sobradamente que fueron unos proyectos exitosos: más de 50 artículos fueron publicados en revistas internacionales con estricto arbitraje, varios más están enviados o por enviarse, se estableció y fortaleció un grupo de investigación en teoría de conjuntos y combinatoria infinita en Morelia, se concluyeron 5 tesis de maestría, 3 tesis de licenciatura y 6 tesis de doctorado. Además se iniciaron otras 3 tesis doctorales. Los resultados de nuestra investigación fueron presentados en más de 50 congresos internacionales en 4 de ellos con ponencias magistrales. La línea de investigación propuesta involucra desarrollo de varias ramas de combinatoria infinita y sus aplicaciones. La combinatoria infinita es parte integral de la teoría de conjuntos con aplicaciones en muchas ramas de matemáticas. La investigación propuesta en este proyecto involucra principalmente la combinatoria de los subconjuntos del conjunto potencia de los números naturales. El objetivo principal es mejorar el conocimiento de estructuras combinatorias básicas como ideales, filtros y familias casi ajenas e independientes. Tal conocimiento será luego utilizado principalmente para el estudio de problemas importantes en topología de conjuntos, pero tambien en análisis real y álgebra. El grupo de teoría de conjuntos y combinatoria infinita en Morelia, por el momento, incluye S. García Ferreira, M. Hrusak, F. Hernández y D. Meza como investigadores, U. A. Ramos García como posdoc y Jonathan Cancino, Osvaldo Guzmán y Arturo Martínez como estudiantes de doctorado. Hay una colaboración cercana con otros investigadores en México como A. Tamariz Mascarúa, G. Campero, y I. Martínez Ruiz. En la realización del proyecto se cuenta con colaboración cercana con los siguientes investigadores en el extranjero: B. Balcar y P. Simon (Charles University, Rep. Checa), J. Brendle (Kobe University, Japon), J. Steprans, I. Farah y P. Szeptycki (York University, Canadá), J. Moore (Cornell University, EEUU) y D. Raghavan (NSU, Singapore). El proyecto tiene cuatro objetivos principales: (1) desarrollo de varias ramas de combinatoria infinita, (2) sus aplicaciones, (3) formación de recursos humanos y (4) divulgación y difusión tanto de los resultados de la investigación resultante así como matemáticas en general. El proyecto cuenta con la participación de tres investigadores establecidos y con la participación de 3 estudiantes de doctorado, los cuales se involucrarán activamente en la investigación propuesta. El proyecto en su gran parte ayudaría a financiar el desarrollo académico de los alumnos: estancias de investigación en universidades nacionales y del extranjero, asistencia a congresos internacionales y nacionales para presentar y difundir resultados de su investigación. Los métodos a desarrollarse y utilizarse en el proyecto incluyen una gran parte de los métodos modernos de teoría de conjuntos y lógica matemática.

La línea de investigación propuesta involucra desarrollo de varias ramas de combinatoria infinita y sus aplicaciones. La combinatoria infinita es parte integral de la teoría de conjuntos con aplicaciones en muchas ramas de matemáticas. La investigación propuesta en este proyecto involucra principalmente la combinatoria de los subconjuntos del conjunto potencia de los números naturales. El objetivo principal es mejorar el conocimiento de estructuras combinatorias básicas como ideales, filtros y familias casi ajenas e independientes. Tal conocimiento será luego utilizado principalmente para el estudio de problemas importantes en topología de conjuntos, pero tambien en análisis real y/o álgebra. 1. Combinatoria de los ideales sobre conjuntos numerables El enfoque de la investigación será en el estudio de las propiedades combinatorias de los ideales (principalmente ideales definibles/borelianos pero también ideales no definibles como ideales maximales y familias casi ajenas) sobre los conjuntos numerables. Las herramientas principales para dicho estudio serán los invariantes cardinales del continuo y de los ideales, y los órdenes de Katetov y Tukey. El orden de Katetov está definido de la siguiente manera: Dados dos ideales I y J sobre los números naturales, N, decimos que I <_K J si existe una función f de N en N tal que preimagenes de elementos de I son elementos de J. El orden de Katetov puede ser usado para caracterizar la destructibilidad de ideales bajo forcing, propiedades combinatorias de ultrafiltros y familias casi ajenas así como P-ideales analíticos, ideales cercanamente relacionados con la teoría de medida y análisis funcional. El problema de la destructibilidad de ideales bajo forcing es central en aplicaciones de forcing a problemas combinatorios y topológicos. Posible solución a varios problemas como los problemas de Roitman y Steprans sobre familias casi ajenas. El orden de Tukey está definido de la siguiente manera: Dados dos ideales I y J sobre los números naturales, N, decimos que I <_T J si existe una función f de I en J tal que preimagenes de conjuntos acotados en J son acotados en I. El orden de Tukey ha mostrado ser una herramienta extremadamente últil en teoría descriptiva de conjuntos y teoría de medida para clasificar las relaciones de equivalencia borelianas y analizar ideales de conjuntos compactos así como varios ideales relacionados con medida. Trabajos importantes en dicha área fueron realizados por D. Fremlin, A. Louveau, A. Kechris, S. Solecki, S. Todorcevic y B. Velickovic. Ambos órdenes son herramientas poderosas para estudiar invariantes cardinales de los ideales definibles sobre conjuntos numerables. El orden de Tukey está estréchamente relacionado con sus cofinalidades mientras que el orden de Katetov relaciona sus números cubrientes. Muchos de los ideales críticos en ambos órdenes son F_sigma ideales. A través del orden de Katetov, el ideal ED caracteriza ultrafiltros selectivos, el ideal ED_fin caracteriza ideales "omega-splitting" y Q-ultrafiltros... El ideal sumable I_{1/n} es el ideal maximal en el orden de Tukey entre todos los P-ideales analíticos... Se pondrá particular atención al estudio de los ideales de tipo F_sigma. La investigación de familias casi ajenas de números naturales y los espacios de Mrówka-Isbell asociados a estas seguirá siendo estudiada en el proyecto. El Dr. Hrusak ha publicado más de 15 artículos sobre familias casi ajenas y sus aplicaciones varios de ellos en colaboracion con otros miembros del grupo. Los problemas centrales que se abordarán es (1) la pregunta de S. Shelah y P. Erdös sobre la existencia de una familia casi ajena maximal completamente separable y (2) la pregunta de J. Roitman si la existencia de una familia dominante de cardinalidad omega_1 implica la existencia de una familia casi ajena maximal de la misma cardinalidad y (3) la pregunta de Steprans sobre la existencia de familias casi ajenas maximales Cohen-indestructibles. 2. Aplicaciones a topología Otra parte integral del proyecto se ocupará de las aplicaciones de combinatoria infinita en topología general y topología de conjuntos. Se realizará investigación sobre homogeneidad, grupos topológicos y productos. Típicamente el análisis de problemas topológicos en el área resulta en una traducción combinatoria que involucra conceptos mencionados en el apartado anterior. Hay varias viejas preguntas viejas sobre la estructura de espacios homogeneos compactos. W. Rudin preguntó si cada espacio compacto homogeneo contiene una sucesión convergente. E. van Douwen preguntó si existe un espacio homogeneo compacto con celularidad mayor que la cardinalidad del continuo. Cualquier progreso sobre alguno de estos problemas será significativo. Un espacio separable X es CDH (numerablemente denso homogeneo) si dados cualesquiera dos subconjuntos densos numerables de X existe un autohomeomorfismo de X que manda uno de los densos sobre el otro. El Dr. Hrusak en colaboración con B. Zamora probaron que cada espacio métrico CDH definible (boreliano) es completamente metrizable. Por otro lado, Dr. Hrusak con Dr. Farah y C. Martínez Ranero construyeron un subconjunto de los números reales de cardinalidad aleph_1 que es CDH, en particular un espacio CDH que no es completamente metrizable. Se intentará resolver el problema de Fitzpatrick y Zhou que pregunta cuáles subespacios del Conjunto de Cantor tienen su potencia numerable CDH, asi como la pregunta reciente de consistencia de la existencia de un espacio CDH Baire de tamaño más pequeño que la cardinalidad del continuo. La parte más ambiciosa del proyecto involucrará aplicaciones de invariantes cardinales y el método de forcing en topología de conjuntos. Se estudiará el problema de E. Michael referente a la existencia de un espacio Lindelöf cuyo producto con el espacio de los números irracionales no es Lindelöf. Se estudiará este problema, en particular en el Modelo de Laver. Se estudiará la conexión del problema de Michael con propiedades de ultrafiltros sobre los conjuntos numerables. Se estudiará el problema de Scarborough-Stone que pregunta si producto arbitrario de espacios secuencialmente compactos es numerablemente compacto. La pregunta también tiene relaciones cercanas con estudio de los ultrafiltros. Por ejemplo se sabe que si todo ultrafiltro contiene una torre entonces existe un contraejemplo. 2. Aplicaciones a análisis Se estudiarán los espacios métricos porosos y monótonos y sus relaciones con la teoría de funciónes y sus invariantes cardinales. En particular se buscará la respuesta a la pregunta de O. Zindulka si existe un espacio métrico σ-monótono de cardinalidad ω_1.