Una parte importante de este proyecto es la continuación del proyecto IN108111. También tiene una linea completamente nueva que trata de aspectos métricos. Se articula el proyecto al rededor de dos ejes principales: - Singularidades locales de espacios analíticos - Fibras de mapeos analíticos cerca de sus fibras especiales. En el primer caso, pretendemos contribuir al entendimiento de la geometría local de las singularidades de espacios analíticos complejos. Nuestra contribución llegará a través de la equisingularidad, primero en el caso de superficies y luego dimensiones mas altas, como familias de superficies. También queremos entender mejor el comportamiento de superficies complejas, tantos normales como a singularidades no aisladas, bajo algún tipo de modificaciones: resoluciones y modificaciones de Nash. El comportamiento métrico y la geometría bi-Lipschitz permiten entender mejor algunos aspectos de la geometría local compleja. Queremos contribuir a este desarrollo de la teoría de singularidades en particular en deformaciones bi-Lipschitz y estructuras bi-Lipschitz cónicas de germenes de superfices complejas. En el caso de Mapeos, queremos extender y adaptar los criterios que exibimos en tabajos conjuntos entre J.L. Cisneros-Molina, J. Seade y J. Snoussi ([CSS! y 2]) en el caso de valores críticos aislados al caso general y estudiar la topología de la fibra general.

Aspiramos a ameliorar la comprehensión de la equisingularidad en el caso de familias de curvas (no necesariamente reducidas) y de familas de superficies. También queremos estudiar el caso de deformaciones de espacios analíticos sobre su cono tangente. Avances en esta dirección asientán mejor los conceptos de equisingularidad. Tambíen queremos participar en el uso de geometría métrica y sus nuevas aportaciones al estudio de singularidades complejas. Tanto sobre la geometría de superficies complejas como en deformaciones de espacios analíticos. Vamos a aclarar el uso de ciclos en resoluciones de superficies normales para la comprehensión de la geometría de las curvas polares y por lo tento de la modificación de Nash, en el caso de singularidades racionales y luego el caso mas general de superficies normales. Queremos participar en el estudio de fibraciones a la Milnor en el caso general de mapeos analíticos reales sin condicones de valores críticoas aislados. A traves este proyecto queremos acompañar jovenes matemáticas a traves su formación y su desarrollo como investigadores. En terminos de fomación queremos titular a un estudiante de licenciatura cada año (en promedio) y dos estudiantes de maestría en la duración del proyecto. Uno de los estudiantes de maestría requiere de orientación para hacer un doctorado. Trabajaremos con el para ofrecerle la opción mejor adaptada a su desarrollo. Si es trabajar con otro investigador, lo prepararemos para que lo haga en buenas condiciones. Si es con el responsable del proyecto, elaboraremos un tema formador y productivo para que lo incluye en la investigación en curso. También queremos acompañar a D. Duarte, que se graduará pronto del doctorado en su trabajo pos-doctoral, para ayudarle a incluirse en la vida activa de investigador del area y para atraerlo de vuelta a México.