La Geofísica Computacional, entre cuyas componentes destaca la modelación matemática y computacional de los fenómenos y procesos terrestres, es indispensable para avanzar la investigación en muchas de sus ramas. Para abordar algunos de los problemas geofísicos de frontera es necesario utilizar los recursos computacionales más avanzados, especialmente, el cómputo en paralelo. Los métodos de descomposición de dominio (DDM, por sus siglas en inglés) han demostrado ser la vía más eficiente para aplicar la computación en paralelo a las ecuaciones diferenciales parciales, o sistemas de tales ecuaciones, que constituyen los modelos básicos de los sistemas. Ismael Herrera Revilla, líder académico del Grupo de Geofísica Computacional (GGC), del Instituto de Geofísica, y Responsable de este Proyecto PAPIIT ha introducido una nueva forma de plantear los DDM que ha demostrado tener muchas ventajas sobre las formulaciones convencionales. En particular se han introducido cuatro algoritmos, dos de los cuales son versiones mejoradas de otros ya existentes y los otros no tienen antecedentes en la literatura internacional. En este proyecto se continuará esta línea de investigación. Los objetivos específicos de esta etapa son: a) Desarrollos de códigos en paralelo que satisfacen el paradigma de los métodos de descomposición de dominio; b) Desarrollo de discretizaciones sin traslape de alta precisión. c) Aplicación a la producción del Petróleo. La recuperación mejorada del petróleo es un tema estratégico computacionalmente muy demandante por lo que la aplicación del cómputo en paralelo a esta clase de problemas es muy importante. El Dr. Ismael Herrera Revilla, Responsable del Proyecto, además de haber jugado un papel muy destacado en el desarrollo científico de México es uno de los representantes más conspicuos de la MMC, no sólo de México, sino de Latinoamérica.

El proyecto que ahora se presenta forma parte de una línea de investigación, dedicada al avance de los procedimientos para la aplicación de las grandes computadoras en paralelo a los problemas de la Ciencia Computacional en general, y a la Geofísica Computacional en particular. Los modelos matemáticos de muchos sistemas geofísicos dan lugar a una gran diversidad de ecuaciones diferenciales parciales [2] cuyos métodos de solución están basados en el procesamiento de sistemas algebricos de grandes dimensiones, por lo que la increíble expansión del "hardware" y el "software" computacionales habido en los últimos tiempos ha permitido el tratamiento de problemas geofísicos de una gran diversidad y complejidad [1]. Entre las nuevas herramientas computacionales destaca la computación en paralelo, que en años recientes ha sido la base para aumentar la capacidad de cómputo. El surgimiento de la computación en paralelo provocó en el ámbito internacional, un esfuerzo continuado y sistemático de los especialistas en modelación matemática y computacional tendiente a utilizar esta herramienta en la solución de los problemas de condiciones de frontera que constituyen los modelos básicos de los fenómenos físicos macroscópicos que ocurren en los sistemas geofísicos y en muchas otras disciplinas de la ciencia y la ingeniería [3]. Muy poco después de que se iniciara este esfuerzo se reconoció que los métodos de descomposición de dominio (DDM, por sus siglas en inglés) proporcionaban las técnicas más efectivas para aplicar el cómputo en paralelo en las solución de las ecuaciones diferenciales parciales, pues tal forma de proceder simplifica drásticamente la coordinación del gran número de procesadores que realizan las diversas tareas y también reduce muy significativamente el volumen de la información que es necesario transmitir entre ellos. Cuando la computación en paralelo se aplica a la solución de un problema su eficiencia es tanto mayor cuanto más independientes son las tareas que se encomiendan a cada uno de los procesadores. Por eso, el paradigma del ‘software’ en paralelo es: realizar la tarea propuesta con los múltiples procesadores trabajando en forma independiente. Tomando en cuenta que en los métodos de descomposición de dominio, el dominio de definición de las ecuaciones diferenciales se descompone en subdominios en cada uno de los cuales se define un problema de valores de frontera, un paradigma de los DDM, concomitante al que acabamos de enunciar es: resolver el problema global a través de resolver exclusivamente problemas locales que sean independientes entre sí. Una desconexión muy importante de los problemas locales se ha logrado utilizando descomposiciones de dominio sin traslape. Sin embargo, en tal clase de descomposiciones los nodos que se utilizan en los diversos subdominios tienen intersecciones no vacías lo que les da un vínculo indeseable. Con base en esta observación, el propósito general de la línea de investigación al que este proyecto pertenece ha sido superar esta limitación de las formulaciones DDM convencionales. En particular, el objetivo de este proyecto es investigar métodos de descomposición de dominio que se realicen utilizando discretizaciones en que cada nodo usado pertenezca a uno y solo uno de los subdominios de la partición (llamadas ‘discretizaciones sin traslape’). Las discretizaciones sin traslape fueron introducidas en la literatura internacional por Ismael Herrera Revilla, Responsable de Proyecto que aquí se presenta, y sus colaboradores en dos publicaciones previas [ , ]. Varios de los resultados que ya hemos obtenido en esta línea son bastante significativos e, inclusive, hay razones para considerar algunos de ellos fundamentales, pues introducen una nueva manera, de gran generalidad, de formular los métodos de descomposición de dominio que aventajan a los DDM convencionales, pues tienen las siguientes propiedades sumamente atractivas: 1) Utilizando discretizaciones sin traslape se puede aplicar cualquier algoritmo DDM; 2) Los algoritmos así obtenidos son igualmente aplicables a problemas no simétricos e indefinidos; 3) Se han obtenido cuatro algoritmos de gran generalidad, llamados 'algoritmos DVS', capaces de tratar ecuaciones simétricas, no simétricas e indefinidas [7,9,13,14,15]; 4) Dos de los algoritmos DVS son versiones mejoradas de BDDC y FETI-DP, respectivamente. Las mejoras son muy significativas, pues las versiones DVS de BDDC y FETI-DP permiten tratar con gran eficiencia numérica y computacional problemas no simétricos e indefinidos, mientras que las versiones originales sólo son aplicables a problemas simétricos y positivos definidos. Además, su eficiencia numérica es mejor, su programación más sencilla y sus propiedades de paralización superiores; 5) Los otros dos algoritmos DVS son nuevos, pues nada similar había sido reportado en la literatura internacional. Además, sus propiedades numéricas y computacionales son tan buenas como las de los otros dos; 6) Hemos reportado, por primera vez en la literatura internacional, algoritmos que alcanzan el paradigma de los DDM. En efecto, los cuatro algoritmos DVS son casi 100% paralelizables, precisamente porque alcanzan el paradigma de los DDM. El interés geofísico de estos resultados es claro, pues ellos abren la puerta a la aplicación eficiente del supercómputo a problemas no simétricos e indefinidos tales como el transporte de energía y de solutos, o la propagación de ondas. Utilizándolos es posible desarrollar códigos (software) prácticamente 100% en paralelo, los cuales a su vez permiten utilizar las computadoras masivamente paralelizadas con gran eficiencia en la solución de las ecuaciones diferenciales, o sistemas de tales ecuaciones, que gobiernan estos fenómenos geofísicos.