El presente proyecto se divide en tres partes y los objetivos de investigación eb cada una de ellas son los siguientes: Teoría K: Definir invariantes de 3-variedades hiperbólicas en los grupos de homología relativa de Hochschild y compararlos con los invariantes existentes Obtener propiedades y métodos de cálculo de la homología de grupos relativa de Hochschild. Singularidades Obtener condiciones necesarias y suficientes para que una aplicación real analítica f:(R^{n+k},0)-->(R^k,0) con valor crítico aislado tenga fibración de Milnor. Generalizar resultados para singularidades casi-homogeneas complejas a singularidades casi-homogeneas polares. Estudiar funciones mixtas en general. Singularidades y Teoría K Asociar elementos en Teoría K algebraica a las demás singularidades cociente aparte de la correspondiente al grupo binario-icosaédrico. Generalizar la Correspondencia de McKay Clásica a otro tipo de singularidades y relacionarla con elementos de Teoría K Algebraica. Escribir artículos con los resultados obtenidos y someterlos para su publicación a revistas especializadas, así como exponer dichos resultados en congresos especializados, tanto nacionales como internacionales. Formar recursos humanos en esta área de investigación. Para ello, participarán dos estudiantes de doctorado y dos estudiantes de maestría. Organizar una escuela avanzada y un congreso internacionales en Singularidades a finales del 2014 donde se impartirán cursos avanzados en temas de investigación actuales en singularidades y donde los principales investigadores en el área a nivel mundial presentarán sus resultados recientes.

El presente proyecto contribuirá en los siguientes rubros: INVESTIGACIÓN En investigación se espera tener los siguientes resultados: Teoría K Comparar los invariantes de 3-variedades hiperbólicas existentes con los invariantes construidos en los grupos de homología relativa de Hochschild. Obtener propiedades y métodos de cálculo de la homología de grupos relativa de Hochschild. Estos resultados permitirán tener un panorama más claro entre los diversos invariantes de 3-variedades hiperbólicas y las relaciones entre los grupos (extendidos) de Bloch y las homologías de grupos relativas de Takasu y Hochschild. También permitirán obtener fórmulas efectivas para el cálculo de dichos invariantes y a partir de ellos, invariantes fundamentales tales como el invariante de Chern-Simons y el volumen hiperbólico. Singularidades Obtener condiciones necesarias y suficientes para que una aplicación real analítica f:(R^{n+k},0)-->(R^k,0) con valor crítico aislado tenga fibración de Milnor. Generalizar resultados para singularidades casi-homogeneas complejas a singularidades casi-homogeneas polares. Estos resultados no proporcionarán familias más grandes, de las hasta ahora conocidas, de aplicaciones reales analíticas con valor crítico aislado con fibración de Milnor. El estudio de las singularidades casi-homogeneas polares proporcionará nuevas ideas para estudiar las singularidades reales con fibración de Milnor en general. Singularidades y Teoría K Asociar elementos en Teoría K algebraica a las demás singularidades cociente aparte de la correspondiente al grupo binario-icosaédrico. Generalizar la Correspondencia de McKay Clásica a otro tipo de singularidades y relacionarla con elementos de Teoría K Algebraica. Estos resultados conectarán a las singularidades con otras ramas de las matemáticas, en particular estableceran una nueva relación con la Teoría K algebraica y nos prmitirá entenderlas en un contexto más amplio. FORMACIÓN DE RECURSOS HUMANOS En el proyecto participarán 4 estudiantes, dos escribiendo su tesis de maestría y 2 escribiendo su tesis de doctorado. DIVULGACIÓN Se expondrán los resultados obtenidos en el proyecto en congresos especializados, tanto nacionales como internacionales. Además se planea impartir minicursos introductorios y organizar seminarios en el área. CONGRESOS A finales del 2014 se organizará la la School and Workshop on Singularities in geometry, topology, foliations and dynamics, que será una escuela y un congreso internacionales en Singularidades.