Este proyecto se enmarca dentro del análisis aplicado. La idea es contribuir desde un punto de vista matemáticamente riguroso al estudio de modelos de medios continuos que provienen de la ciencia de materiales, en particular para fenómenos que ocurren a escalas mesoscópicas. Ejemplos de estos modelos son la teoría micromagnética y los modelos para materiales con memoria de forma, donde los dominios magnéticos y las microestructuras elásticas son las características dominantes. En ambos casos los modelos están basados en principios físicos sólidos bien aceptados, sin embargo dichos modelos no son aptos para hacer simulaciones numéricas debido a la enorme cantidad de escalas que intervienen en el fenómeno. El paradigma en este tipo de problemas consiste en usar las herramientas del análisis para identificar y/o derivar modelos simplificados validos en ciertos regímenes, que capturen de forma robusta las características dominantes de los fenómenos físicos, pero que a su vez sean fáciles de entender y simular numéricamente. En el núcleo de esta estrategia están las ideas de la gamma-convergencia de DeGiorgi [DeG75] y la convergencia débil como herramientas básicas en nuestros análisis. Desde una perspectiva mas general la intensión de esta investigación consiste, ademas de responder algunas preguntas especificas, o explicar algún resultado experimental, en ampliar y profundizar el conocimiento que se tiene de los procesos físicos subyacentes y de los modelos matemáticos que describen este tipo de materiales, incluyendo los problemas asociados a su simulación numérica.

La idea general de este proyecto consiste en, por un lado extender, a ámbitos más aplicados, las herramientas del análisis matemático y del cálculo de variaciones que han sido desarrolladas en las últimas décadas, por el otro usar esas ideas del análisis para la simulación y modelación de situaciones concretas, explicando resultados experimentales o generando modelos aplicables en ciertas situaciones. La contribución principal de este proyecto no sólo será dar respuesta a algunas preguntas específicas, sino además, ampliar y profundizar el conocimiento que se tiene de los procesos físicos subyacentes en los materiales con memorial de forma, la dinámica de los materiales magnéticos y de los modelos matemáticos que los describen. Finalmente, con este proyecto se contribuirá a la formación de recursos humanos en el área del análisis aplicado y se fomentará el crecimiento de esta área en la investigación que se realiza en México.