El álgebra de Clifford, o álgebra geométrica, es una herramienta matemática cuya importancia y utilidad en diversos campos de la ciencia se reconoce cada vez más. Formalmente, una álgebra de Clifford es un tipo de álgebra asociativa que generaliza a los números complejos y a los cuaternios. Su principal virtud, entonces, es que el álgebra de los complejos, de los cuaternios (y de las matrices de Pauli y de Dirac) son subálgebras de una álgebra de Clifford particular. En cuanto a sus aplicaciones, una ventaja ventaja importante es que permite manipular de una forma natural y directa objetos geométricos y sus tranformaciones. En particular el manejo de rotaciones y reflexiones, independiente de dimensiones y coordenadas, ha sido aplicado por un grupo de investigación, que inicié formalmente con el estudiante de doctorado Marco Antonio Rodríguez Andrade, para resolver problemas que involucran redes en más de tres dimensiones, con aplicaciones en la cristalografía y otros problemas relacionados. El propósito de este proyecto es continuar y reforzar esta línea de investigación. En particular, el proyecto tiene tres objetivos principales: 1. Resolver, utilizando este formalismo matemático, el problema de las redes de coincidencia (redes que se forman al superponer una red y su copia rotada por un cierto ángulo) formadas por redes hipercúbicas en dimensiones arbitrarias. 2. Explorar aplicaciones de estás álgebras a otros problemas relacionados con la cristalografía u otras disciplinas cercanas. 3. Actualizar, ampliar y depurar el paquete de cálculo simbólico en el programa MATHEMATICA, llamado CLIFFORD, desarrollado por mi grupo de investigación, que ha sido de gran utilidad para realizar los cálculos en esta álgebra y que ha tenido creciente demanda. Ante esto, los productos entregables de este proyecto, serán publicaciones en revistas especializadas, de prestigio e indizadas, y una nueva versión del paquete CLIFFORD, más eficiente, mejor documentado y con mayores funciones, para distribuirse en la comunidad interesada en el álgebra de Clifford y sus aplicaciones.

Como una primera aplicación importante del algebra de Clifford se abordará el problema de las redes de coincidencia que se obtienen al rotar dos redes cúbicas (incluyendo bases de las redes de coincidencia) y su posterior generalización a redes hipercúbicas en dimensiones arbitrarias. El problema de las redes de coincidencia, además de ser importante en el campo de la teoría de redes, tiene aplicaciones en la ingeniería de fronteras de grano (en tres dimensiones, por supuesto). Caracterizar una red de coincidencia implica hallar expresiones para las redes de coincidencia y bases para las mismas. Los métodos que se han aplicado, principalmente basados en teoría de números, han tenido éxito en el primer punto pero han fallado al hallar expresiones analíticas de las bases para las redes de coincidencia y recurren a algoritmos numéricos. Por otro lado, sólo existen dos programas de cómputo disponible para realizar operaciones con álgebras de Clifford: uno para el programa de cálculo simbólico MAPLE (desarrollado por Rafal Ablamowicz: http://math.tntech.edu/rafal/) y otro para el programa MATHEMATICA, desarrollado por nosotros, que necesita revisión y actualización mayor. En consecuencia, las contribuciones del proyecto son: 1. Usando álgebras de Clifford, hemos sido capaces de hallar expresiones para las bases de las redes de coincidencia en dos dimensiones, en espacios Euclídeos e hiperbólicos. El siguiente paso, para este proyecto, es resolver este problema para redes cúbicas y generalizarlo a redes hipercúbicas en dimensiones arbitrarias. 2. Explorar aplicaciones de estás álgebras a otros problemas relacionados con la cristalografía u otras disciplinas cercanas. 3. Realizar una revisión y actualización mayor del paquete CLIFFORD, incluyendo nuevas funciones y propiedades. Los dos primeros se transmitirán mediante publicaciones en revistas especializadas indizadas y presentaciones en congresos y seminarios; la última mediante su puesta a disposición en página institucional (UNAM) para todos la comunidad internacional interesada.