La investigación propuesta en este proyecto está dirigida al análisis espectral directo e inverso de varios operadores en espacios de Hilbert. Concentraremos nuestra atención en clases de operadores que incluyen operadores diferenciales y en diferencias de interés para la física matemática y la biomatemática. Este proyecto propone realizar el análisis espectral de operadores por medio de un método indirecto que utiliza de forma crucial espacios de funciones y la teoría de funciones analíticas. Esta forma de estudiar el espectro de operadores se ha utilizado antes, sin embargo desarrollos recientes en la teoría de funciones y en la construcción de modelos funcionales hace posible vislumbrar nuevos resultados para la teoría espectral de varias clases de operadores. La forma de abordar problemas espectrales directos e inversos que se plantea en este proyecto permitirá la caracterización espectral de varios operadores y la resolución de varios problemas espectrales inversos, incluyendo aquellos donde están en juego tipos de perturbaciones aun no estudiadas.

La teoría de funciones, en particular analíticas, se ha utilizado ampliamente en el estudio de las propiedades espectrales de operadores. Sin embargo, desarrollos recientes en la teoría de funciones y en la construcción de modelos funcionales hace posible vislumbrar nuevos resultados para la teoría espectral de varias clases de operadores. Los desarrollos recientes en la teoría de funciones, referidos arriba, están relacionados con la investigación de los espacios de de Branges que han puesto de manifiesto nuevas propiedades [16, 29, 30]. La construcción de nuevos modelos funcionales se refiere a las generalizaciones dadas en [21, 22]. Estos resultados, junto con un refinamiento de las clases a las que pertenece la función de Weyl [11, 12], permitirán la caracterización espectral de operadores de Schrödinger singulares y de algunos operadores en diferencias. La forma de tratar problemas espectrales que se propone en este proyecto, esto es, el análisis espectral con base en las propiedades de espacios funcionales, es adaptable a varios operadores diferenciales y en diferencias que aparecen en física matemática y biomatemática [2, 3, 4]. Además, este forma de abordar problemas espectrales puede utilizarse para el tratamiento de problemas espectrales inversos para varias clases de operadores [20]. Finalmente, la teoría de Weyl-Titchmarsh-Kodaira en conjunción con nuevos métodos desarrollados en [6, 7, 23, 24] permitirán resolver el problema de dos espectros para varios tipos de perturbaciones de rango dos y tres de matrices de Jacobi semi-infinitas e infinitas.