Este proyecto tiene como objetivo fundamental el contribuir al estudio y análisis de estabilidad de ondas viajeras periódicas, también conocidas como trenes de onda periódicos. Este tipo de soluciones de tipo ondulatorio ocurren con mucha frecuencia en modelos matemáticos de las ciencias naturales y son de fundamental importancia para la comprensión de los fenómenos que describen. En particular, elucidar la estabilidad de dichas ondas es un paso crucial para la validación del modelo matemático, ya que su estabilidad determina si la onda es viable o reproducible en el laboratorio. En el estudio de estabilidad de ondas periódicas podemos distinguir dos vertientes: por un lado, el análisis de la estabilidad "espectral" de la onda, que consiste en el cálculo del espectro del operador linealizado alrededor de la onda; y por el otro, el estudio de estabilidad "modulacional", que consiste en establecer la hiperbolicidad de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que gobierna modulaciones pequeñas de los parámetros de la onda. Esta última vertiente, conocida como teoría modulacional, es ampliamente aceptada por la comunidad física, pero no es matemáticamente rigurosa. A pesar de la investigación que se ha realizado en el área, ha sido sólo en los últimos años que se ha podido entender la relación entre la estabilidad espectral y la modulacional, desde un punto de vista analítico. El proyecto pretende contribuir a este estudio mediante la aplicación de herramientas analíticas (función de Evans y análisis del mapeo de monodromía) al estudio de estabilidad modulacional, espectral y eventualmente nolineal de ondas periódicas, en el caso de modelos ampliamente aceptados en la literatura científica.

La investigación propuesta en este proyecto continúa la nueva tendencia en el estudio de ondas periódicas, a saber, la de utilizar métodos rigurosos de la función de Evans en el estudio de estabilidad modulacional, espectral y nolineal (en ese orden) de dichas ondas. La contribución de este proyecto a dicho programa tiene dos facetas. La primera consiste en establecer rigurosamente (desde el punto de vista matemático) la estabilidad modulacional de algunos casos particulares de ondas periódicas, como son la ecuación de Klein-Gordon nolineal, ecuaciones no-locales tipo Whitham-Fornberg, o sistemas no disipativos como el sistema de Euler-Korteweg. Asimismo, se pretende establecer la estabilidad espectral de dichas ondas, para, finalmente, proveer un resultado de estabilidad orbital nolineal completo en cada caso particular. La segunda faceta es un subproducto o resultado colateral de la primera faceta, pero no menos importante, y consiste en el desarrollo de técnicas y metodologías analíticas para el estudio de estabilidad. Estas técnicas, ahora un conjunto de observaciones en la literatura reciente, se irán amalgamando en lo que (espero) sea una teoría completa de métodos analíticos en el estudio de ondas periódicas y un subcampo activo de investigación para los años venideros. Es importante mencionar que los métodos que se utlizarán son de gran alcance y generalidad, pues no requieren que la ecuación sea completamente integrable.