La recta tropical es el semi-anillo consistente en los números reales unión el infinito con las operaciones mínimo y suma. Los polinomios tropicales definen funciones "lineales a trozos" siendo las variedades tropicales su lugar de no linealidad. La amiba de un conjunto algebraico afín en el campo complejo es la imagen de dicho conjunto mediante la aplicación módulo y Log. La variedad tropical asociada a dicho conjunto resulta ser un "esqueleto" de su amiba. La geometría Tropical es una rama relativamente nueva de las matemáticas que está produciendo muchos resultados en muchas áreas diferentes: Entre otras Geometría Enumerativa, Geometría Algebraica y Analisis complejo. Textos introductorios son [GAT, It-Mik-Sh, Ri-Stu]. Se continuará con dos de las tres lineas de investigación que propusimos en el proyecto en 2009. Estas han sido las lineas más fructíferas y en las que han surgido nuevas preguntas: 1) Extensión de las nociones de geometría tropical a grupos totalmente ordenados. En esta linea avanzamos con los trabajos [ARO1] y [ARO2]. En este periodo intentaremos resolver los problemas técnicos que han surgido al extender la condición de equilibrio [MAN] y trabajaremos en la extensión del teorema fundamental del álgebra tropical a rango arbitrario [MUÑ]. 2) Utilizar las herramientas de geometría tropical en Teoría de singularidades. En el proyecto anterior estudiamos las singularidades Newton no degeneradas en codimensión arbitraria. En [Ar-Go-Sh] damos una definición en términos de geometría tropical y obtenemos la resolución tórica a partir de una variedad tropical. Seguiremos profundizando en este tema intentando resolver la pregunta: Si una singularidad puede resolverse mediante modificaciones tóricas ¿Existe un encaje y un sistema de coordenadas en el que sea Newton no degenerada? En la segunda línea de investigación atacaremos nuevos problemas: * Modificaciones tropicales en el estudio de curvas Heesianas. En [Br-Lo] se demuestra que el pegado de Viro [VIR] produce curvas algebraicas reales con la máxima cantidad de puntos reales de inflexión. La principal herramienta tropical que utilizan para entender estos puntos de inflexión son las modificaciones tropicales. Esperamos obtener resultados del mismo tipo para curvas Hessianas. *Parametrizaciones locales de singularidades de conjuntos analíticos, compatibles con una proyección. En [ARO3] demostramos la existencia de parametrizaciones locales "en cuñas" compatibles con una proyección. En [Ar-Il-Lo] damos un método para calcularlas utilizando una variedad tropical. Recientemente hemos observado que estas cuñas resultan estar contenidas en la contraimagen de alguna componente conexa del complementario de la amiba del discriminante de la proyección. Pensamos que, de hecho, existen paramétricas convergentes para cada componente. *El grupo fundamental del complementario de una curva. La contraimagen de una componente conexa del complementario de la amiba de una curva es un toro contenido en el complementario de la curva. Con herramientas de geometría tropical podemos saber cuántas veces corta la curva a cada uno de los discos distinguidos asociados a dicho toro. ¿Qué información da esto sobre el grupo fundamental del complementario de la curva?

Las técnicas de Geometría Tropical están produciendo avances en campos muy diversos de la matemática (Geometría Enumerativa, geometría algebraica y geometría Compleja). Estamos convencidos de que la extensión de estas técnicas será beneficiosa en este sentido. El proyecto formará un grupo de estudiantes tanto en Geometría Tropical como en Teoría de Singularidades. Varios miembros de la comunidad matemática mexicana procedentes de distintas áreas han mostrado interés en aprender las técnicas de Geometría Tropical. Los investigadores extranjeros invitados dentro de este proyecto impartirán cursos y seminarios.