El estudio del transporte en fluidos y plasmas ha sido ampliamente estudiado, sin embargo en el caso de transporte activo, donde el movimiento de partículas altera el flujo, no se tiene un conocimiento extenso de las dinámicas posibles que podemos encontrar. El caso de transporte activo es conocido como autoconsistente donde el campo de vorticidad determina el transporte. Existen tres modelos donde podemos analizar la evolución del transporte caótico, los cuales son el de defecto de la vorticidad, el de onda simple y el autoconsistente [Diego1]. Este tercer modelo consiste en un conjunto de mapeos tipo twist, que preservan área, los cuales están acoplados de forma autoconsistente. Dicho esquema se obtiene de la discretización en el espacio y tiempo del modelo de onda simple. El propósito de esta investigación es el estudiar la estructura de las soluciones periódicas en el modelo autoconsistente de transporte caótico. El modelo esta basado en mapeos de tipo simplécticos en el cilindro que preservan el área [Gole], dichos mapeos están acoplados por el parámetro de energía y fase, el cual depende del estado promedio de los mapeos twist. Dado que el esquema propuesto es la discretización en espacio y tiempo del modelo continuo de onda simple, se requiere un número grande de mapeos acoplados (del órden de diez mil) para tener una aproximación aceptable del caso continuo. De esta forma, el problema físico es traducido al problema de un sistema dinámico complejo. El estudio de los mapeos twist en el plano tiene su origen en los trabajos de Poincaré y Birkhoff a principios del siglo pasado. En los años sesenta y setenta el estudio de los mapeos twist tuvo un avance significativo con la aplicación de dichos mapeos en el desarrollo de la teoría KAM y la teoría de Aubry--Mather [Meiss]. Sin embargo no ha habido muchos avances en el estudio de mapeos acoplados en dimensiones altas. Para dos mapeos acoplados se ha estudiado el modelo de Froeschlé (como modelo de la dinámica de Galaxias) [KookMeiss y OlveraVargas], también se han estudiado modelos de mapeos con interacción de múltiples vecinos [LlaveRenato]. El modelo autoconsistente se ha estudiado a partir de definir las órbitas de punto fijo y de período dos cuando los parámetros del sistema no varían, tanto en el caso de mapeos twist [Diego1], como en el caso non-twist [Diego2].

El transporte activo en el estudio de flujos y plasmas es un problema que genera gran interés. En la medida que se pueda describir la dinámica de este tipo de transporte, se podrá explicar un grupo muy extenso de fenómenos sobre mezclas, sobre dispersión de contaminantes y de partículas, sobre la eliminación y control de contaminantes en plasmas, etc. Toda contribución al avance en este campo puede tener un impacto inmediato en el entendimiento de flujos para un rango muy amplio de números de Reynolds. El punto de vista que se propone en este proyecto, es aprovechar la formulación del transporte autoconsistente como un problema de sistemas dinámicos de dimensión alta. Esto permite utilizar herramientas tanto numéricas, asintóticas como analíticas para explicar la formación de estructuras que son propias en este tipo de problemas de transporte. En la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y de los sistemas dinámicos, el conocimiento de las estructuras invariantes son básicas para tener una visión global de la dinámica del problema. El primer grupo de conjuntos invariantes son las órbitas periódicas, las cuales suelen ser robustas ante perturbaciones. Estas órbitas son la primera ventana que nos permite observar la formación de estructuras, por otro lado, las órbitas periódicas son los elementos más simples de determinar, sin embargo este proceso puede ser complicado cuando trabajamos con miles de mapeos acoplados. Nosotros proponemos utilizar la simetrías que encontramos en estos mapeos acoplados respecto a la colocación de las órbitas periódicas. Partiendo de la información de las órbitas periódicas de los mapeos desacoplados, podemos utilizar métodos asintóticos como son las formas normales y métodos de continuación numéricas para el seguimientos de dichas órbitas. El estudio de la estabilidad y la determinación de las variedades invariantes de las órbitas periódicas, no permite formar estructuras que impacten en la formación de patrones del flujo y su transporte autoconsistente. Para poder estudiar las órbitas periódicas junto con sus estructuras invariantes, debemos plantear procedimientos numéricos novedosos que permitan hacer la continuación numérica de las órbitas en función de los parámetros de perturbación. Esto requiere el uso de cómputo de alto desempeño, donde es necesario utilizar paralelización para poder trabajar con órbitas de periodos altos. Se plantea usar un cluster de GPUs para trabajar con mapeos de alta dimensión (decenas de miles de mapeos acoplados). También se plantea crear una metodología novedosa en el planteamiento asintótico del problema con el uso de formas normales del tipo Poincaré-Lindstedt donde aprovechemos las simetrías de las órbitas periódicas. De esta forma podremos estudiar de forma global el comportamiento asintótico de un grupo amplio de órbitas periódicas, como también sus estructuras resonantes. Este tipo de métodos asintóticos nos permite obtener las escalas y las razones de crecimiento en función de los parámetros de perturbación. Los métodos numéricos y asintóticos se complementan y a su vez muestran la consistencia de ambos métodos. De esta forma, el uso de herramientas numéricas como simbólicas para el cálculo de las formas normales, generan un cuerpo de conocimiento que dan una visión global de la dinámica del flujo hamiltoniano del sistema dinámico. Nosotros esperamos mostrar que de esta visión global podamos explicar los patrones típicos de las ecuaciones de difusión-advección que tienen transporte activo. Finalmente debemos recalcar que el estudio del transporte caótico esta en sus fases iniciales y que toda contribución en este campo va a impactar fuertemente tanto a los estudios teóricos como prácticos en los fenómenos de transporte en flujos y plasmas.