El proyecto consiste en continuar con las investigaciones sobre las estructuras geométricas en variedades diferenciables con énfasis en las estructuras complejas, simplécticas, de contacto e hiperbólicas. 1) Estudio de variedades LV-M 2) Construcción de nuevos ejemplos de variedades de contacto La tesis de doctorado de Yadira Felipe Barreto consiste en utilizar estas variedades paraconstruir una infinidad de variedades de contacto sumamente interesantes. Yadira Felipe, Alberto Verjovsky investigarán estas nuevas variedades y la usaran para encontrar nuevos ejemplos de variedades complejas. 3) Deformación de variedades complejas y foliaciones En colaboración con Mònica Manjarín, Marcel Nicolau de la Universidad Autónoma de Barcelona 4) Laminaciones por superficies de Riemann Matilde Martínez y Alberto Verjovsky tienen un resultado parcial sobre el célebre teorema de Hedlund para laminaciones compactas por superficies hiperbólicas: El flujo horocíclico en el espacio tangente unitario a una laminación compacta L por superficies hiperbólicas o bien es minimal, o bien la laminación consiste de las órbitas de una acción localmente libre del grupo afín. En colaboración con Matilde Martínez y Richard Muñiz se demostrará el teorema de uniformización por un método analítico nuevo. También se tiene el proyecto de demostrar el teorema de ergodicidad única (unique ergodicity)del flujo horocíclico. 5) Ejemplos nuevos de variedades hiperbólicas en dimensiones altas En su tesis doctoral (bajo la supervisión de Alberto Verjovsky )de Juan Pablo Díaz ha encontrado nuevos ejemplos de variedades hiperbólicas de dimensión mayor a que tres. Ciertas variedades como la célebre 4-variedad hiperbólica de Davis tienen una topología bastante complicada. Es muy posible que la forma de intersección de estas variedades y su grupo de automorfismos este relacionada con los grupos finitos simples esporádicos . Dentro de este proyecto Juan Pablo Díaz y Alberto Verjovsky iniciarán esta investigación que promete ser importante, fascinante y que también conecta a varias ramas de la matemática. 7) Teoría de Poincaré-Denjoy para grupos compactos solenoidales abelianos unidimensionales. Manuel Cruz López y Alberto Verjovsky tienen una versión preliminar de la teoría de Poincaré-Denjoy para difeomorfismos de un grupo solenoidal unidimensional compacto. De hecho dentro del proyecto se contempla desarrollar la teoría KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) en este contexto. 8) Nudos y topología salvaje como conjuntos límites de grupos Kleinianos conformes en dimensiones mayores que tres.Alberto Verjovsky en colaboración con Margareta Boege y Gabriela Hinojosa continuarán sus investigaciones sobre nudos salvajes que son conjuntos límites de grupos Kleinianos conformes geométricamente finitos. Ya se han publicado 6 artículos en revistas de excelencia sobre el tema. 9) Teoría de números y variedades hiperbólicas. Formación de recursos humanos: Durante el proyecto contempla doctorar a los alumnos: 1) Yadira Lizeth Barreto Felipe 3) Juan Pablo Díaz González 4) Juan Manuel Burgos 5) Otto Hector y que José Juan Zacarias obtenga su licenciatura.

El proyecto consiste en continuar con las investigaciones sobre las estructuras geométricas en variedades diferenciables con énfasis en las estructuras complejas, simplécticas, de contacto e hiperbólicas. Todas estas estructuras están interconectadas y se estudiarán varios aspectos de la interfaz entre ellas. Por ejemplo, en una variedad compleja de tipo Kähler la 2-forma de Kähler es un forma simpléctica y la variedad se vuelve una variedad simpléctica. Dada una variedad de contacto M la variedad obtenida al multiplicar M por el círculo es una variedad simpléctica llamada la simplectización de M. Por el otro lado, variedades de codimension uno coisotrópicas en variedades simplécticas son en general variedades de contacto. Una variedad provista con una foliación por hojas simplécticas es llamada una estructura regular de Poisson. El teorema de uniformización de Koebe-Poincaré nos da la interconexión enTRE las superficies complejas y las superficies hiperbólicas. Dentro del proyecto se estudiaran, desde el punto de vista geométrico, topológico, analítico y dinámico muchos aspectos (los cuales serán explicados posteriormente en este protocolo) de variedades complejas, de contacto, simplécticas e hiperbólicas en dimensión alta así como variedades hiperbólicas complejas (con respecto a la métrica de Bergman). Descripción de los temas que se proponen dentro del proyecto 1) Estudio de variedades LV-M En una serie de artículos que aparecieron varias de las mejores revistas del mundo, como son Annals of Mathematics, Acta Mathematica, Mathematische Annalen, Journal de Crelle, el responsable Alberto Verjovsky y Laurent Meersseman encontraron una infinidad de nuevos ejemplos de variedades complejas compactas que no son simplécticas. Los primeros ejemplos de dicha construcción se deben a Santiago López de Medrano y a Alberto Verjovsky y después Laurent Meersseman generalizó esta construcción por esa razón esas variedades se llaman LV-M manifolds. Alberto Verjovsky y Laurent Meersseman demostraron que toda variedad tórica Las variedades LV-M fueron obtenidas como el espacio de hojas de un abierto de Cn que es invariante bajo una acción de Ck (para ). En colaboración con Laurent Meersseman de la Universidad de la Borgoña y dentro del proyecto continuaremos investigando dichas variedades. En particular se investigará si admiten métricas riemannianas especiales (por ejemplo métricas de tipo Einstein o con propiedades especiales de curvatura). Estos ejemplos son una mina de oro que vale la pena seguir estudiando. Además para estudiarlas se utilizan muchas partes de la matemática como por ejemplo el análisis complejo, la geometría diferencial, la geometría algebraica, sistemas dinámicos y la topología algebraica. 2) Construcción de nuevos ejemplos de variedades de contacto La tesis de doctorado de Yadira Felipe Barreto consiste en utilizar estas variedades para construir una infinidad de variedades de contacto sumamente interesantes. Yadira Felipe, Alberto Verjovskyinvestigarán estas nuevas variedades y la usaran para encontrar nuevos ejemplos de variedades complejas. 3) Variedade Tóricas no-conmutativas en colaboración con el Dr. Ernesto Lupercio. 4) Nuevos ejemplos de variedades de Poisson regulares Pablo Suárez Serrato y Alberto Verjovsky encontraron al final del 2009 una estructura de Poisson regular de dimensión 4 sobre la 5-esfera: La 5-esfera S5 posee una foliación lisa, de codimension uno, F, cuyas hojas son 4-variedades simplécticas cuya estructura simpléctica varía diferenciablemente Este resultado ya fue enviado para su publicación a una de las mejores revistas del mundo. Este es el único ejemplo no-trivial de tal estructura. La construcción está motivada por un artículo en Annals of Mathematics de Laurent Meersseman y Alberto Verjovsky de una foliación en la 5-esfera cuyas hojas son superficies complejas. Dentro del proyecto construiremos nuevos ejemplos y en particular se tiene como meta encontrar variedades de dimensión 5 foliadas por 4-variedades de tipo Calabi-Yau. 5) Laminaciones por superficies de Riemann Matilde Martínez y Alberto Verjovsky tienen un resultado parcial sobre el célebre teorema de Hedlund para laminaciones compactas por superficies hiperbólicas: El flujo horocíclico en el espacio tangente unitario a una laminación compacta L por superficies hiperbólicas o bien es minimal, o bien la laminación consiste de las órbitas de una acción localmente libre del grupo afín. En colaboración con Matilde Martínez y Richard Muñiz se demostrará el teorema de uniformización por un método analítico nuevo. También se tiene el proyecto de demostrar el teorema de ergodicidad única (unique ergodicity) del flujo horocíclico. Alberto Verjovsky en colaboración con T. Gendron tiene el proyecto de encontrar la clasificación completa de difeomorfismos de Anosov en grupos solenoidales abelianos compactos. 6) Ejemplos nuevos de variedades hiperbólicas en dimensiones altas En su tesis doctoral (bajo la supervisión de Alberto Verjovsky) Juan Pablo Díaz ha encontrado nuevos ejemplos de variedades hiperbólicas de dimensión mayor a que tres. Ciertas variedades como la célebre 4-variedad hiperbólica de Davis tienen una topología bastante complicada. Es muy posible que la forma de intersección de estas variedades y su grupo de automorfismos este relacionada con los grupos finitos simples esporádicos. Dentro de este proyecto Juan Pablo Díaz y Alberto Verjovsky iniciarán esta investigación que promete ser importante, fascinante y que también conecta a varias ramas de la matemática. 7) Teoría de Poincaré-Denjoy para grupos compactos solenoidales abelianos unidimensionales Manuel Cruz López y Alberto Verjovsky tienen una versión preliminar de la teoría de Poincaré-Denjoy para difeomorfismos de un grupo solenoidal unidimensional compacto. De hecho dentro del proyecto se contempla desarrollar la teoría KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) en este contexto 11) Solenoides y sistemas dinámicos hiperbólicos