Investigación. El propósito de las investigaciones en este proyecto es la consolidación y fructificación del desarrollo de una dinámica no lineal y mecánica estadística para los sistemas complejos que hemos iniciado y avanzado en años recientes con contenido asociado a apoyos PAPIIT. Estudiaremos los sistemas complejos mas representativos de las fronteras interdisciplinarias entre la física y la ecología, la economía y la sociología. Consideraremos: i) Mapeos no lineales disipativos en sus transiciones al caos. ii) Redes aleatorias y redes carentes de escalas. iii) Procesos estocásticos de renovación de eventos y caminatas aleatorias. En todos estos temas estableceremos la existencia de una estructura mecánico estadística generalizada ya que los tres tipos de sistemas se adaptan a los criterios de la teoría de las desviaciones grandes. Se desarrollarán aplicaciones específicas a problemas generales que involucran i) Distribuciones de rango (Zipf y otras). ii) Distribuciones estacionarias. iii) Sistemas jerárquicos. Resultados positivos en el ejercicio de este proyecto tienen un potencial valioso en las aplicaciones a temas interdisciplinarios en sistemas complejos, a la vez que representan un posible avance en el formalismo general de la teoría de las desviaciones grandes, el lenguaje matemático de la mecánica estadística. Grupo de investigación. El grupo de investigación asociado a este proyecto (que consiste del investigador responsable, dos estudiantes de doctorado y cinco colaboradores en el extranjero) posee conocimientos y experiencia de investigación en los temas (teoría de la probabilidad, sistemas dinámicos, mecánica estadística, leyes empíricas en sistemas complejos) y metodologías de trabajo (teoría de las desviaciones grandes, procesos estocásticos de renovación, caminatas aleatorias, grupo de renormalización, maximización de entropía) fundamentales para el desarrollo de las líneas de investigación. A la fecha se cuenta con mas de tres docenas de publicaciones científicas recientes en el tema del proyecto, con un impacto cuantificable en citas bibliográficas e invitaciones tanto a escribir artículos de revisión y monografías sobre estas investigaciones, como a exponer resultados en eventos importantes relacionados al tema. (Ver el protocolo del proyecto).

La contribución del proyecto consiste en la generación de nuevos conocimientos y entendimiento sobre una gama de temas de frontera en la física de los sistemas complejos. El tronco común de la investigación de estos temas es la construcción de una mecánica estadística generalizada la cual constituya el formalismo correcto para el estudio de fenómenos descritos vía leyes de potencia, y que se manifiestan en el caos incipiente, en las distribuciones de probabilidad anómalas, y en las redes carentes de escalas. El tema central ofrece la oportunidad de inspeccionar la validez de los fundamentos de la física estadística convencional y de ratificar o invalidar generalizaciones a esta rama de la física en este momento en debate. Consideramos el contenido científico de esta propuesta manifiestamente original por las siguientes razones: 1) El contenido de este proyecto difiere de otras líneas de investigación en sistemas complejos pues se enfoca a indagar la cuestión aun no explorada cabalmente de caracterizar la mecánica estadística asociada a los fenómenos carentes de escalas y descritos vía leyes de potencia que muestran estos sistemas. 2) También difiere de otros análisis sobre los fundamentos de la mecánica estadística en que se dirige a establecer los límites de validez del formalismo tradicional, la mecánica estadística de Boltzmann y de Gibbs (que esta fundamentada en leyes exponenciales). 3) Más aún, los objetivos del proyecto consideran las conexiones y equivalencias específicas que se manifiestan entre la dinámica del caos incipiente, los procesos estocásticos que preservan sus rasgos ante cambios de escalas, y la estructura de redes complejas. Estos tres aspectos combinados hacen de nuestro proyecto de trabajo una propuesta original con valor potencial para lograr avances significativos en investigación de frontera y con aplicación a problemas interdisciplinarios en los cuales los métodos de la física estadística se emplean en temas de la geografía física y humana, los sistemas ecológicos, la economía, y los fenómenos sociales.