PROYECTO._x000D_ _x000D_ 1. El análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales es una teoría que se remonta a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Esta teoría fue impulsada originalmente por H. Poincaré como una alternativa al estudio de las ecuaciones diferenciales una vez que fue ampliamente aceptada la imposibilidad de dar una solución explícita a una gran cantidad de ecuaciones diferenciales (Liouville). El uso de la variable compleja, aunado a este nuevo enfoque de estudio de las ecuaciones diferenciales, abrió nuevos horizontes en el desarrollo de la teoría de ecuaciones diferenciales. En nuestros días a esta teoría cualitativa se le conoce comúnmente como Sistemas Dinámicos y, en el caso en que el enfoque dado es mediante el uso de la teoría de funciones de variable compleja, se le conoce como Sistemas Dinámicos Complejos o Analíticos. Una herramienta que ha probado ser de gran utilidad en el estudio de las ecuaciones diferenciales es la de formas normales. Estas, son las formas más sencillas (en cierto sentido) a las que se puede llevar una ecuación diferencial mediante cambios formales, topológicos, diferenciables o analíticos según se trate de una clasificación formal, topológica, diferenciable o analítica. Los estudios recientes han demostrado que esta clasificación puede ir desde el caso más sencillo, en el cual el parámetro de clasificación es el campo de los números complejos, al caso de obtención de moduli funcional. Así mismo, las implicaciones de una clasificación con respecto a otra (por ejemplo topológico implica analítico o formal implica analìtico, etc.) pueden ser a su vez muy variadas y complicadas de obtener dependiendo del tipo de ecuación que se analice. Es en este contexto en el que los pseudogrupos de holonomía asociados a las ecuaciones diferenciales juegan un papel crucial. En efecto, el uso de los pseudogrupos de holonomía de una ecuación nos permite trabajar con la dinámica transversa de las ecuaciones y por tanto con gérmenes de difeomorfismos y sus clasificaciones, su topología, sus puntos fijos y sus órbitas periódicas. _x000D_ _x000D_ Desde hace ya varios años hemos estado colaborando con algunos miembros de la escuela de sistemas dinámicos rusa dirigida por Yulij S. Ilyashenko. Se han publicado ya varios trabajos conjuntos en los que se han obtenido resultados relativos al análisis de ecuaciones diferenciales analíticas. _x000D_ _x000D_ Un trabajo de investigación en esta dirección es: _x000D_ _x000D_ Ortiz-Bobadilla L., Rosales-Gonzalez E., Voronin S.M., Rigidity theorems for generic holomorphic germs of dicritic foliations and vector fields in (C^2,0)}, Moscow Mathematical Journal,Vol5, No 1, 2005. _x000D_ _x000D_ Dicho trabajo puede dividirse en dos partes: En la primera se resuelve el problema de rigidez para germenes de foliaciones y campos vectoriales con singularidad dicrítica. Se demostró que la equivalencia formal orbital de dos gérmenes genéricos de campos vectoriales con singularidad dicrítica implica su equivalencia analítica (esto demuestra la rigidez de las foliaciones). Así mismo, se demostró que la equivalencia formal no orbital de dos gérmenes genéricos de campos vectoriales analíticos con singularidad dicrítica implica su equivalencia analítica no orbital (esto demuestra la rigidez de los campos vectoriales). _x000D_ _x000D_ En la segunda parte de este trabajo se encuentran las formas normales formales de foliaciones y campos vectoriales (es decir, bajo equivalencia formal orbital y no orbital) y se demuestra que los invariantes de la clasificación analítica de dichos gérmenes está determinada por las involuciones en los puntos singulares del blow-up de la singularidad y por un conjunto finito de invariantes obtenidos de la forma normal. Este trabajo dió lugar a diferentes preguntas. Entre otras el encontrar si las formas normales formales obtenidas son o no analíticas. Esta pregunta interesó a investigadores como J.F. Mattei, E.Paul y J.P. Ramis . Este último considera el analizar los resultados obtenidos por nosotros a fin de demostrar que las series formales obtenidas son Gevrey. _x000D_ _x000D_ En el posible caso de que las formas obtenidas no sean las formas normales analíticas cabe la pregunta: _x000D_ _x000D_ ¿Cuáles son las formas analíticas o en qué casos pueden éstas coincidir con las formas normales formales? _x000D_ _x000D_ Esta pregunta se resolvió recientemente en el trabajo [ORV3] y fue publicado en una revista internacional con arbitraje._x000D_ _x000D_ _x000D_ Para el caso de las ecuaciones diferenciales no dicrìticas se demostró hace ya algunos años la rigidez en los casos orbital y no orbital (ver [V], [ORV 1]): para gérmenes genéricos no dicríticos, la equivalencia formal (orbital y no orbital) implica la equivalencia analítica (orbital y no orbital)._x000D_ _x000D_ _x000D_ Para gérmenes no dicríticos uno de los problemas planteados por René Thom consiste precisamente en encontrar un sistema de invariantes analíticos que determinen de manera unívoca su tipo analítico. Cabe distinguir que este problema en realidad se divide en dos problemas: el primero consiste en encontrar invariantes de la clasificación analítica y el segundo encontrar que una lista mínima de estos invariantes._x000D_ _x000D_ Este último problema ha sido estudiado en diversas ocasiones (Moussu, Cerveau, Mattei,…) y hasta el momento no se ha podido hallar una lista de invariantes de la clasificación analítica de los gérmenes no dicríticos. _x000D_ _x000D_ En este proyecto se pretende dar una respuesta a este problema._x000D_ _x000D_ _x000D_ 2. Considérense los sistemas de la forma A(x)x'=v(x), x en (Cn,0), con superficie de degeneración suave G={detA(x)=0}. Dicho sistema es un sistema de índice infinito si KerA(x) está contenido en el espacio tangente a G en x para toda x en G. En este proyecto se pretenden encontrar las formas normales analíticas de dichos gérmenes. _x000D_ _x000D_ Hasta ahora las respuestas a este problema han estado en el marco de sistemas con índice finito. Destacan en este sentido, los trabajos de J. Sotomayor, M. Zhitomirskii y N. Paziy entre otros. _x000D_ _x000D_ 3. Finalmente, un problema que fue tratado previamente fue el de considerar la ecuación diferencial polinomial en el plano complejo: _x000D_ _x000D_ dw/dt = P(z,w),_x000D_ _x000D_ dw/dt = Q(z,w), (z,w) en C^2, ... (1) _x000D_ _x000D_ donde P y Q son polinomios en las variables z,w con coeficientes complejos. Asimismo, si se considera el estrato en el que los polinomios P,Q son de grado a lo más n, para ecuaciones genéricas en este espacio se tiene que, la ecuación es la expresión en una carta afín de otra ecuación definida en el plano proyectivo complejo (CP^2); además en el caso genérico la línea al infinito es solución y, por consiguiente, puede ser considerado el pseudogrupo de monodromía al infinito asociado a la ecuación. _x000D_ _x000D_ Si definimos como ciclo límite a cada elemento no trivial (aislado) del grupo fundamental de una solución de la ecuación (1), una pregunta que surge es determinar si la no solubilidad del grupo de monodromía al infinito de la ecuación es una condición suficiente para la existencia de un número numerable de ciclos límite (en [S-R-O] se demostró que suponiendo la no solubilidad del grupo de monodromía más ciertas condiciones analítico reales de codimensión por lo menos dos la respuesta es afirmativa). _x000D_ _x000D_ En esta línea se desprenden otros problemas como por ejemplo al considerar la ecuación (1) concoeficientes reales en plano real. El problema 16 de Hilbert plantea estudiar el número de órbitas periódicas aisladas de la ecuación, cómo están éstas distribuidas en el plano y como depende dicha configuración del grado de los polinomios. La variante algebraica de este problema consiste en estudiar la geometría (número de componentes, configuración topológica y geométrica en el plano, invariantes asociados, etc.) de los ceros de polinomios en el plano. Al respecto, la Dra. Adriana Ortiz de reciente ingreso al Instituto de Matemáticas (cuyo doctorado fue realizado bajo la dirección de V.I. Arnold) ha tenido contribuciones al estudiar las configuraciones de las curvas parabólicas planas en el plano real afín y asimismo, está investigando sobre el número de componentes conexas de las curvas parabólicas de las gráficas de funciones diferenciabl

PROTOCOLO DEL PROYECTO _x000D_ _x000D_ ANTECEDENTES Y CONTRIBUCIÓN DEL PROYECTO_x000D_ _x000D_ 1. El análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales es una teoría que se remonta a finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Esta teoría fue impulsada originalmente por H. Poincaré como una alternativa al estudio de las ecuaciones diferenciales una vez que fue ampliamente aceptada la imposibilidad de dar una solución explícita a una gran cantidad de ecuaciones diferenciales (Liouville). El uso de la variable compleja, aunado a este nuevo enfoque de estudio de las ecuaciones diferenciales, abrió nuevos horizontes en el desarrollo de la teoría de ecuaciones diferenciales. En nuestros días a esta teoría cualitativa se le conoce comúnmente como Sistemas Dinámicos y, en el caso en que el enfoque dado es mediante el uso de la teoría de funciones de variable compleja, se le conoce como Sistemas Dinámicos Complejos o Analíticos. Una herramienta que ha probado ser de gran utilidad en el estudio de las ecuaciones diferenciales es la de formas normales. Estas, como en el caso análogo de clasificación de matrices, son las formas más sencillas (en cierto sentido) a las que se puede llevar una ecuación diferencial mediante cambios formales, topológicos, diferenciables o analíticos según se trate de una clasificación formal, topológica, diferenciable o analítica. Los estudios recientes han demostrado que esta clasificación puede ir desde el caso más sencillo, en el cual el parámetro de clasificación es el campo de los números complejos, al caso de obtención de moduli funcional. Así mismo, las implicaciones de una clasificación con respecto a otra (por ejemplo topológico implica analítico o formal implica analìtico, etc.) pueden ser a su vez muy variadas y complicadas de obtener dependiendo del tipo de ecuación que se analice. Es en este contexto en el que los pseudogrupos de holonomía asociados a las ecuaciones diferenciales juegan un papel crucial. En efecto, el uso de los pseudogrupos de holonomía de una ecuación nos permite trabajar con la dinámica transversa de las ecuaciones y por tanto con gérmenes de difeomorfismos y sus clasificaciones, su topología, sus puntos fijos y sus órbitas periódicas. _x000D_ _x000D_ Desde hace ya varios años hemos estado colaborando con algunos miembros de la escuela de sistemas dinámicos rusa dirigida por Yulij S. Ilyashenko. Se han publicado ya varios trabajos conjuntos en los que se han obtenido resultados relativos al análisis de ecuaciones diferenciales analíticas. _x000D_ _x000D_ Un trabajo de investigación en esta dirección es: _x000D_ _x000D_ Ortiz-Bobadilla L., Rosales-Gonzalez E., Voronin S.M., Rigidity theorems for generic holomorphic germs of dicritic foliations and vector fields in (C^2,0)}, Moscow Mathematical Journal,Vol5, No 1, 2005. _x000D_ _x000D_ Dicho trabajo puede dividirse en dos partes: En la primera se resuelve el problema de rigidez para germenes de foliaciones y campos vectoriales con singularidad dicrítica. Se demostró que la equivalencia formal orbital de dos gérmenes genéricos de campos vectoriales con singularidad dicrítica implica su equivalencia analítica (esto demuestra la rigidez de las foliaciones). Así mismo, se demostró que la equivalencia formal no orbital de dos gérmenes genéricos de campos vectoriales analíticos con singularidad dicrítica implica su equivalencia analítica no orbital (esto demuestra la rigidez de los campos vectoriales). _x000D_ _x000D_ En la segunda parte de este trabajo se encuentran las formas normales formales de foliaciones y campos vectoriales (es decir, bajo equivalencia formal orbital y no orbital) y se demuestra que los invariantes de la clasificación analítica de dichos gérmenes está determinada por las involuciones en los puntos singulares del blow-up de la singularidad y por un conjunto finito de invariantes obtenidos de la forma normal. Este trabajo dió lugar a diferentes preguntas. Entre otras el encontrar si las formas normales formales obtenidas son o no analíticas. Esta pregunta interesó a investigadores como J.F. Mattei, E.Paul y J.P. Ramis . Este último considera el analizar los resultados obtenidos por nosotros a fin de demostrar que las series formales obtenidas son Gevrey. _x000D_ _x000D_ En el posible caso de que las formas obtenidas no sean las formas normales analíticas cabe la pregunta: _x000D_ _x000D_ ¿Cuáles son las formas analíticas o en qué casos pueden éstas coincidir con las formas normales formales? _x000D_ _x000D_ Esta pregunta se resolvió recientemente en el trabajo [ORV3] y fue publicado en una revista internacional con arbitraje._x000D_ _x000D_ _x000D_ Para el caso de las ecuaciones diferenciales no dicrìticas se demostró hace ya algunos años la rigidez en los casos orbital y no orbital (ver [V], [ORV 1]): para gérmenes genéricos no dicríticos, la equivalencia formal (orbital y no orbital) implica la equivalencia analítica (orbital y no orbital)._x000D_ _x000D_ _x000D_ Para germenes no dicríticos uno de los problemas planteados por René Thom consiste precisamente en encontrar un sistema de invariantes analíticos que determinen de manera unívoca su tipo analítico. Cabe distinguir que este problema en realidad se divide en dos problemas: el primero consiste en encontrar invariantes de la clasificación analítica y el segundo encontrar que una lista mínima de estos invariantes._x000D_ _x000D_ Este último problema ha sido estudiado en diversas ocasiones (Moussu, Cerveau, Mattei,…) y hasta el momento no se ha podido hallar una lista de invariantes de la clasificación analítica de los gérmenes no dicríticos en presencia de varias separatrices. _x000D_ _x000D_ En este proyecto se pretende dar una respuesta a este problema._x000D_ _x000D_ _x000D_ 2. Considérense los sistemas de la forma A(x)x'=v(x), x en (Cn,0), con superficie de degeneración suave G={detA(x)=0}. Dicho sistema es un sistema de índice infinito si KerA(x) está contenido en el espacio tangente a G en x para toda x en G. En este proyecto se pretenden encontrar las formas normales analíticas de dichos gérmenes. _x000D_ _x000D_ Hasta ahora las respuestas a este problema han estado en el marco de sistemas con índice finito. Destacan en este sentido, los trabajos de J. Sotomayor, M. Zhitomirskii y N. Paziy entre otros. _x000D_ _x000D_ Finalmente, un problema que fue tratado previamente fue el de considerar la ecuación diferencial polinomial en el plano complejo: _x000D_ _x000D_ dw/dt = P(z,w),_x000D_ _x000D_ dw/dt = Q(z,w), (z,w) en C^2, ... (1) _x000D_ _x000D_ donde P y Q son polinomios en las variables z,w con coeficientes complejos. Asimismo, si se considera el estrato en el que los polinomios P,Q son de grado a lo más n, para ecuaciones genéricas en este espacio se tiene que, la ecuación es la expresión en una carta afín de otra ecuación definida en el plano proyectivo complejo (CP^2); además en el caso genérico la línea al infinito es solución y, por consiguiente, puede ser considerado el pseudogrupo de monodromía al infinito asociado a la ecuación. _x000D_ _x000D_ Si definimos como ciclo límite a cada elemento no trivial (aislado) del grupo fundamental de una solución de la ecuación (1), una pregunta que surge es determinar si la no solubilidad del grupo de monodromía al infinito de la ecuación es una condición suficiente para la existencia de un número numerable de ciclos límite (en [S-R-O] se demostró que suponiendo la no solubilidad del grupo de monodromía más ciertas condiciones analítico reales de codimensión por lo menos dos la respuesta es afirmativa). _x000D_ _x000D_ En esta línea se desprenden otros problemas como por ejemplo al considerar la ecuación (1) concoeficientes reales en plano real. El problema 16 de Hilbert plantea estudiar el número de órbitas periódicas aisladas de la ecuación, cómo están éstas distribuidas en el plano y como depende dicha configuración del grado de los polinomios. La variante algebraica de este problema consiste en estudiar la geometría (número de componentes, configuración topológica y geométrica en el plano, invariantes asociados, etc.) de los ceros de polinomios en el plano. Al respecto, la Dra. Adriana Ortiz de reciente ingreso al Instituto de Matemáticas (cuyo doctorado fue realizado bajo la dirección de V.I. Arnold) ha tenido contribuciones al estudiar las configuraciones de las curvas parabólicas plan