Los sistemas estratificantes han sido un terreno óptimo donde la homología relativa ha resultado ser un instrumento idóneo, el cual ha permitido reinterpretar y generalizar ciertos resultados homológicos a contextos mas generales. Por lo cual, es importante seguir con el desarrollo de la teoría de dichos sistemas, al menos en las siguientes dos direcciones: (a) desarrollar la teoría de sistemas estratificantes lineales al caso de sistemas estratificantes definidos en base a un pre-orden , y (b) Categorificar la noción de "modulo propio estandar (resp. Co-estandar) " y relacionarlo con la teoría de sistemas estratificantes. Por otro lado, La teoría de Categorías Funtorialmente Finitas, y su relación con la teoría Tilting, han sido una herramienta muy importante en Homología Relativa en álgebras de artin. Recientemente, las categorías trianguladas han sido objeto de estudio extensivo en diferentes áreas de las matemáticas debido a que son una poderosa herramienta, aplicada con éxito para resolver problemas importantes tanto en geometría como en álgebra. Por esta razón, en la búsqueda de nuevas herramientas homológicas, es fundamental extender teorías (sistemas estratificantes, funciones de Igusa-Todorov, dimensiones homológicas, etc.) al contexto de las categorías triánguladas o a otros contextos, como las categorías exactas. Finalmente, la conjetura finitista, la cual fue establecida por H. Bass en 1960 y sigue abierta hasta la fecha, ha motivado fuertemente a la gente en las áreas de homología y de representaciones de álgebras. Sorpresivamente, hemos mostrado, que los sistemas estratificantes están conectados con dicha conjetura y por lo tanto pueden servir como fuente de inspiración para obtener nuevas ideas que pueden generalizarse fácilmente en otros contextos. Teniendo como motivación lo anterior, hemos establecido los principales objetivos del proyecto. A saber: (1) Extender la teoría de sistemas estratificantes a otros contextos (categorías exactas, trianguladas, etc.), (2) Estudiar la función phi de Igusa-Todorov, usando los bifuntores Ext^i(-,-), así como la invarianza de su finitud bajo equivalencias derivadas, (3) Extender la teoría de funciones de Igusa-Todorov a otros contextos (el relativo a subcategorías de módulos, categorías exactas, trianguladas, etc.), (4 ) Escribir dos libros: uno a nivel licenciatura y otro a nivel del posgrado en el área de álgebra, y (5) Supervisar y dirigir los estudios de maestría de una estudiante. Nuestra experiencia, dando cursos de grado y postgrado, nos ha permitido detectar la necesidad de material adecuado en el área de álgebra. Por lo que, el objetivo (4) está motivado como una aportación nuestra en aras de fortalecer la formación académica de nuestra comunidad de alumnos. Para realizar lo anterior, nos apoyaremos en la organización de seminarios donde se discutirán, con la participación de académicos (externos e internos) y alumnos interesados, al menos el material correspondiente que aparece en la bibliografía de cada uno de los objetivos de investigación planteados. Por otro lado, se asistirá a congresos internacionales con la finalidad de mantenerse en contacto y actualizado en los temas de frontera de nuestra área de estudio.

Uno de los intereses de este proyecto, en lo que concierne a los sistemas estratificantes, es seguir desarrollando dicha teoría en alguna de las siguientes direcciones: (i) Relacionar la dimensión finitista de un álgebra con la dimensión finitista de la categoría de módulos filtrados por un sistema estratificante (esto se inició en [HLM1]). (ii) Usar la intuición desarrollada por el estudio de los sistemas estratificantes para aportar algún avance a la conjetura finitista ( esto se inició en [HLM2]). (iii) Generalizar la teoría de sistemas estratificantes lineales al caso de sistemas estratificantes definidos en base a un pre-orden (esto se inicio en el trabajo [MSX]). (iv) Categorificar la noción de “modulo propio estandar (resp. Co-estandar) ” y conectarlo con la noción de sistema estratificante (esto se inició en [MPV1] y [MPV2]) (v) Generalizar tanto la noción como las propiedades básicas de los sistemas estratificantes a los contextos de homología relativa (en el sentido de Auslander-Solberg) y de categorías trianguladas (en esta dirección hay un trabajo en proceso). Por otro lado, la teoría de las categorías funtorialmente finitas y sus relaciones con la teoría tilting fueron muy importantes, desde sus inicios, tanto para los trabajos de Auslander y colaboradores en Homología relativa dentro del contexto de las álgebras de artin, como para los recientes desarrollos de la homología relativa en anillos asociativos con unidad (ver [AM], [GT] , [Xu] y [SK] ). Otro de los intereses en éste proyecto es intentar obtener resultados en alguna de las siguientes direcciones: (vi) Generalizar e interrelacionar las 3 primeras direcciones o “contextos” importantes que fueron iniciados por Auslander en homología relativa a saber: El contexto de Auslander-Buchweitz (dimensiones homológicas relativas, ver [AB] ), de Auslander-Reiten (Teoría de aproximaciones, ver en [AR] ) y de Auslander-Solberg (subfuntores del Ext^1(-,-), ver en [AS1] , [AS2] y [AS3]). Se pretende también, interpretar y desarrollar dichas interrelaciones usando para ello la teoría de pares de cotorsion ( ver en [GT]). (vii) Aplicar la herramienta desarrollada en el punto anterior para el estudio de las categorías n-ortogonales maximales (introducidas por Iyama y que han resultado fundamentales en el estudio de álgebras autoinyectivas y en la n-teoría de Auslander-Reiten, ver en [I1] y en [I2]), así como también estudiar desde éste punto de vista a la teoría de sistemas estratificantes lineales. (viii) Desarrollar un tipo de teoría de homología relativa en otros contextos, como por ejemplo, en categorías trianguladas y de conglomerado (algunos resultados parciales, ver [MSS1, MSS2]). (ix) Estudiar las categorías de funtores desde el punto de vista de la homología relativa y los sistemas estratificantes. (x) Desarrollar herramientas homológicas para aplicarlas y obtener resultados relacionados con la famosa conjetura finitista. Por ejemplo, en esta dirección se podría: Desarrollar la teoría de funciones “relativas” de Igusa-Todorov en categorías de módulos o bien en ciertas categorías trianguladas. En el contexto de categorías trianguladas, ya existen ciertos resultados parciales (ver, por ejemplo, [XuD]). Cabe mencionar, que se espera obtener resultados de investigación relacionados con alguna de las direcciones anteriores, los cuales se enviaran para ser considerados en su publicación en revistas internacionales con arbitraje. Finalmente, la experiencia acumulada tanto en la formación de alumnos como en los cursos dados de nivel licenciatura y posgrado, nos ha hecho ver la carencia de material apropiado (a nivel licenciatura y posgrado) en álgebra. Por esta razón nos hemos planteado la necesidad de presentar, bajo este proyecto, al menos dos libros: uno a nivel licenciatura y otro a nivel del posgrado.