Este es un proyecto sobre investigaciones en matemáticas puras. El objetivo principal es producir resultados matemáticos de calidad, que se publicarán en revistas especializadas en investigación matemática, de prestigio y circulación internacional. Una parte importante del proyecto es la formación de recursos humanos de alta calidad, por medio de la dirección de tesis de doctorado o maestría. En cuanto a la parte matemática estamos interesados en diversos tipos de problemas. Haremos investigaciones en cirugía de Dehn, principalmente estudiaremos las cirugía toroidales en nudos hiperbólicos, y las cirugías en enlaces que son la cerradura de una trenza pura y su relación con presentaciones artinianas. También estudiaremos superficies incompresibles en exteriores de nudos con número de túneles 1, y en exteriores de cubos con asas anudados. También estamos interesados en los 3-ovillos racionales y sus posibles aplicaciones a la topología del ADN. También se espera presentar los resultados obtenidos en congresos necionales e internacionales de investigación. Aún está por definirse en que congresos participaremos. También pensamos organizar alguna reunión o sesión de congreso en los próximos años. Se espera tener la participación de mas académicos externos, que se irán incorporando al proyecto según se vaya dando la colaboración. Entre los posibles colaboradores mencionamos a Maria Elena Vázquez, Dorothy Buck, Masakazu Teragaito, Luis Gerardo Valdez y Fabiola Manjarrez.

Ahora mencionamos lo que creemos será nuestra contribución a estas teorías matemáticas. En los siguiente párrafos mantenemos la misma numeración de la sección de antecedentes y las referencias se encuentran en la sección de la bibliografía. A. CIRUGIA DE DEHN EN NUDOS. 1. El estudiante Sergio Cesar Alejandro Gutiérrez Guzmán ha encontrado unas familias infinitas de nudos con una cirugía Seifert, por medio del truco de Montesinos empezando con un nudo toroidal L, y se encuentra estudiando propiedades de estas nudos. Esto será parte de su tesis doctoral y de un artículo de investigación que está en preparación. Abordaremos más cuestiones sobre cirugía de Seifert, como el determinar la conexidad o no del complejo de cirugías de Seifert definido en [DMM]. En el caso de cirugías toroidales en nudos hiperbólicos, se sabe que si EK(r) tiene un toro esencial entonces la pendiente r es entera o semientera, es decir consiste de una o dos longitudes y varios meridianos. En el caso en que la pendiente sea semientera, el responsable del proyecto construyó una familia de nudos con este tipo de cirugías [E1], y Gordon y Luecke [GL] probaron que esta familia es completa, o sea consta de todos los nudos con dicha propiedad. La construcción de estos nudos se hizo por medio del truco de Montesinos. Aquí se comienza con un nudo para el que existe una esfera de Conway S, o sea una esfera que toca al nudo en 4 puntos y lo separa en dos bolas cada una con dos arcos no triviales. Luego se busca una 3-bola B que toca al nudo en dos arcos triviales y lo transforma en el nudo trivial, pero de modo que B interseque a S en discos. En la doble cubierta ramificada S se levanta a un toro esencial T. La descripción de estos nudos usando el truco de Montesinos es clara y bonita, sin embargo no da una descripción explícita de los nudos en la 3-esfera. Creemos que es posible dar una construcción sencilla de estos nudos, donde se pueda ver de manera natural que tienen una cirugía toroidal con pendiente semientera, y trataremos de dar dicha construcción. Para el caso de cirugías toroidales con pendiente entera hay muchos ejemplos conocidos. Algunos construidos con el truco de Montesinos y otros de manera directa. No parece que sea posible describir todos los ejemplos posibles, como en el caso de la cirugía semientera, pero quizás si se pueda dar una descripción más o menos general. Sea K un nudo hiperbólico y r una pendiente tal que EK(r) contiene un toro esencial T. Este toro interseca al corazón del toro sólido de cirugía en un número mínimo finito de puntos, digamos n. Si n=0 entonces K no es hiperbólico, si n=1 entonces K es un nudo de género 1. Para n=2 existen muchos ejemplos (en el caso de cirugía semientera se tiene siempre que n=2). Para n=4 existen poco ejemplos construidos con el truco de Montesinos [E2], [T1]. Para n > 4, n par, se conocen pocos ejemplos [T2], la construcción no da ejemplos explícitos. Entonces estamos interesados en los siguientes problemas: a. Dar una descripción genérica de nudos con cirugías toroidales con n=2. b. Construir ejemplos explícitos de nudos con cirugías toroidales con n cualquier número par, y dar una descripción genérica de dichos nudos. c. Probar que no existen nudos con cirugía toroidales con n impar, n > 1. d. determinar cual es el número máximo posible de toros esenciales que puede tener una variedad obtenida por cirugía en un nudo. Dado un nudo con una cirugía toroidal r, resulta también interesante estudiar el número de intersección entre la pendiente r y una longitud del nudo, o sea la pendiente que bordea una superficie de Seifert para el nudo. Una conjetura de Teragaito dice que esta número de intersección es a lo mucho 4g, donde g es el género del nudo, y se han dado pruebas para el caso en que g=1 o 2 [L]. La estudiante Araceli Guzmán Tristán está trabajando en esta conjetura para el caso de nudos con g=3. 2. Decimos que una presentación artiniana es positiva si todos los exponentes que aparecen en una relación r(i) son positivos. Lorena Armas Sanabria ha dado una caracterización de las presentaciones Artinianas positivas [A]. En particular ha probado que la trenza cerrada correspondiente a una presentación positiva es fuertemente invertible, lo que implica que la variedad correspondiente es una cubierta doble ramificada de la 3-esfera. Por esto sabemos que existen variedades que no admiten ninguna presentación artiniana positiva. Ahora queremos dar una descripción o clasificación de todas las 3-variedades que admiten una presentación artiniana positiva, creemos que todas ellas son variedades grafo. Por el Teorema de Kirby, sabemos que dos enlaces que producen por cirugía una misma 3-variedad están relacionados por una sucesión finita de movidas de Kirby. Ko y Smolinsky [KS] han generalizado esto probando que si tenemos dos enlaces que producen la misma 3-variedad y ambos están representados por trenzas cerradas, entonces las movidas se pueden elegir de modo que en los pasos intermedios tengamos trenzas cerradas. Sin embargo, si tenemos una trenza cerrada pura, estas movidas no preservan la pureza de la trenza. Estamos interesados en encontrar una versión de este resultado en el que todas las cirugías intermedias sean enlaces dados por una trenza pura cerrada. Esperamos que este nos de una serie de movidas para presentaciones artinianas, o sea una manera de relacionar dos presentaciones artinianas diferentes de una misma 3-variedad. Esto podría servir para definir invariantes polinomiales de 3-variedades, de manera análoga a los invariantes polinomiales de nudos y enlaces, como el polinomio de Jones. B. SUPERFICIES INCOMPRESIBLES EN EXTERIORES DE NUDOS 1. El estudiante José Ángel Frías García está estudiando las construcciones dadas en [E3] y está tratando de demostrar que si un nudo de un túnel tiene una superficie incompresible de género 2, entonces este nudo viene de dichas construcciones. También se explorara el mismo problema para superficies de género mayor. 2. El responsable del proyecto, junto con Makoto Ozawa, han dado una caracterización de todos los cubos con asas anudados de un túnel que admiten una esfera esencial con dos fronteras [EO]. Esto generaliza resultados de Scharlemann [S] y Morimoto [M] para nudos y enlaces para el caso de cubos con asas anudados. Ahora estamos interesados en continuar en esta investigación y producir un análogo del resultado de Morimoto y Sakuma, o sea, caracterizar los cubos con asas anudados de un túnel cuyo complemento tiene un anillo o toro esencial. C. APLICACIONES DE LA TEORIA DE NUDOS A LA TOPOLOGIA DEL ADN Para modelar algunas acciones de enzimas en moléculas de ADN es deseable o necesario hacer la modelación con 3-ovillos. Por ejemplo véase el artículo de Darcy, Luecke y Vázquez [DLV]. Sin embargo, al no tener una clasificación de los 3-ovillos racionales, no se ha podido explotar este modelo. Queremos clasificar los 3-ovillos racionales, o bien algunas familias de ellos, para poder aplicarlos en problemas específicos de la topología del ADN.