El estudio cualtitativo de las ecuaciones diferenciales podemos dividirlo, en primera instancia, en un análisis local (gérmenes de ecuaciones) y uno global(ecuaciones definidas en en un espacio vectorial o en una superficie compacta). En el caso local, las formas normales son las formas más sencillas a las que se puede llevar una ecuación diferencial mediante cambios formales, topológicos, diferenciables o analíticos según se trate de una clasificación formal, topológica, diferenciable o analítica (respectivamente). En un proyecto anterior, como parte del camino que se requirió para resolver el problema de Thom sobre invariantes analíticos de gérmenes de foliaciones, se encontró la forma normal formal de campos vectoriales no dicríticos. En este proyecto se espera determinar en qué casos dicha forma normal formal es analítica. Se sabe que no en todos los casos se obtendrá una respuesta positiva. Para estos casos se buscará encontrar la forma normal analítica más simple posible. Resolver este problema es equiparable al Teorema de Poincaré de linealización analítica para el caso en el que el campo vectorial que define a la foliación no tiene parte lineal. Aunado a este problema se encuentra el problema de determinar cuándo la forma normal formal es diferenciable. Este problema nos remite al caso de foliaciones por curvas reales y su solución puede ser de utilidad para entender bifurcaciones con puntos singulares degenerados que hasta ahora no han sido estudiadas. Otro de los problemas de este proyecto está relacionado con el problema de Hilbert infinitesimal. Este problema está ligado a encontrar cotas del número de ciclos límite a a partir de perturbaciones de campos hamiltonianos. En este proyecto en lugar de considerar campos hamiltonianos, se considerarán perturbaciones de campos integrables en el sentido de Darboux. En lo que respecta a clasificación global,se contempla trabajar sobre el problema de rigidez en el proyectivo con el fin de generalizar los resultados obtenidos por Y. Ilyashenko y recientemente por Valente Ramírez. En lo relativo al análisis de curvas algebraicas uno de los objetivos es encontrar invariantes geométricos y algebraicos asociados a la propiedad de ser curva o polinomio Hessiano mediante el estudio de las simetrías de las superficies de Riemann (y de la acción de grupos discretos en la cubriente universal de cada una de éstas) obtenidas de complexificar las curvas Hessianas reales lisas.Por otra parte, el problema de realización para curvas afines reales y complejas de grado cuatro sigue siendo un problema de gran interés. Se tiene programada una actividad importante en la formación de recursos humanos. En particular se dirigirán tres tesis de doctorado una de maestría y cinco de licenciatura. Así mismo se trabajará en la organización en 2014 de una Escuela de Singularidades en el Instituto de Matemáticas (Unidad de Cuernavaca). Además se tiene planeado escribir un texto sobre Foliaciones Holomorfas a fin de que los estudiantes de niveles avanzados tengan una referencia que los guíe de una manera clara a los temas de investigación actual en el área.

El objetivo general del proyecto es ampliar lo que hasta ahora se sabe sobre la clasificación analítica formal y topológica de ecuaciones diferenciales analíticas, así como la formación de recursos humanos en esta área y la interacción entre los grupos de investigación internacionales existentes en el área . Para lograrlo se destacan los siguientes objetivos particulares: 1) Dar continuidad al proyecto que ha venido funcionando hace ya varios años y que ha permitido ir construyendo un ambiente académico rico y estimulante, gracias al cual el grupo de Foliaciones Holomorfas y Sistemas Dinámicos Analiticos se enriquecido con la incorporación de jovenes estudiantes e investigadores y ha logrado realizar contribuciones en el área en colaboración con la escuela rusa dirigida por el Dr.Yu.I. Ilyashenko (en particular con en Dr. Sergei Voronin). 2) La formación de recursos humanos en el área tanto de licenciatura como de posgrado. En este sentido se realizará la dirección de por lo menos cinco tesis de licenciatura, una de maestría y dos de doctorado, y se continuará con la formación de recursos humanos por medio de la impartición de cursos en la licenciatura y en la maestría, así como el seminario dirigido a los estudiantes. 3) Así mismo, avanzar en la investigación de los temas propuestos en el proyecto y publicar los resultados en revistas de circulación internacional con arbitraje. 4) La continuación del seminario de investigación en ecuaciones diferenciales analíticas, foliaciones holomorfas y singularidades que opera en el Instituto de Matemáticas de la UNAM desde hace ya varios años. 5) Escribir un texto de Foliaciones Holomorfas a fin de q a fin de que los estudiantes de niveles avanzados tengan una referencia que los guíe de una manera clara a los temas de investigación actual en el área. 6) Estrechar los vínculos de investigación entre nuestro grupo de investigación y los investigadores de las escuelas rusa con el fin de que se continúe generando la producción de artículos de investigación de interés común. Así mismo, se continuarán intercambios iniciados recientemente con investigadores de la escuela francesa, española y brasileña con el fin de investigar temas afines. Puntualmente los resultados esperados son: Resultados esperados. 1) Encontrar la forma normal analítica de gérmenes de campos vectoriales y foliaciones con singularidad no dicrítica. 2) Encontrar en qué casos la forma normal formal de gérmenes no dicríticos es analítica. 3) Resolver el problema de rigidez topológica y de estabilidad estructural en gérmenes de foliaciones con singularidad no dicrítica (con parte principal y monodromía) fijas. 4) Encontrar las formas normales diferencialbles para gérmenes de campos de vectores dicríticos y no dicríticos en (R²,0) y ver si hay o no un resultado de rigidez diferenciable. Aplicación de lo anterior al problema de generación de ciclos límite. 5) Trabajar sobre el problema de rigidez en el proyectivo con el fin de generalizar los resultados obtenidos por Y. Ilyashenko y recientemente por Valente Ramírez. 6) Encontrar un algoritmo de Francoise para el caso de foliaciones Darboux integrables. 7) Encontrar invariantes geométricos y algebraicos asociados a la propiedad de ser curva o polinomio Hessiano mediante el estudio de las simetrías de las superficies de Riemann (y de la acción de grupos discretos en la cubriente universal de cada una de éstas) obtenidas de complexificar las curvas Hessianas reales lisas. 8) Estudiar el problema de realización para curvas afines reales y complejas de grado cuatro. En general Abundar en el estudio topológico y geométrico de las configuraciones de las curvas parabólicas planas en el plano real afín. Analizar las obstrucciones topológicas para la existencia de curvas parabólicas planas algebraicas. 9) Estudiar en (C^n,0) de la dinámica de intersección de la iteración de un germen de subvariedad con otra fija. 10) Dirección de tesis de doctorado de Jessie Diana Pontigo Herrera . 11) Dirección de tesis de doctorado de Jessica Angélica Jaurez Rosas. 13) Dirección de tesis de doctorado de Miguel Ángel Guadarrama García. 14) Dirección de tesis de maestría de Armando Varela Álvarez. 15) Dirección de tesis de licenciatura de Joyce Denis Vega. 16) Dirección de tesis de licenciatura de Juan Antonio Ramírez Orta. 17) Dirección de tesis de licenciatura de Miriam Ramírez García. 18) Dirección de tesis de licenciatura de Oziel Gómez Martínez. 19) Dirección de tesis de licenciatura de Jesús Alberto Palma Márquez. 20) Asesoría de licenciatura y eventualmente maestría de Cecilia Neve y Sebastián González Hermosillo. 21)Escribir un texto sobre Foliaciones Holomorfas a fin de que los estudiantes de niveles avanzados tengan una referencia que los guíe de una manera clara a los temas de investigación actual en el área. 22)Fortalecer al grupo de investigación de foliaciones holomorfas, geometría y dinámica de ecuaciones analíticas mediante la publicación de los resultados obtenidos en revistas de circulación internacional con arbitraje, la dirección de las tesis ya mencionadas en esta propuesta, así como la realización del seminario para estudiantes y del seminario de investigación. 23)Fortalecer los lazos de cooperación con los grupos análogos de Rusia, Francia, Brasil y España.