Este proyecto forma parte de un programa de investigación sobre la Teoría de Singularidades y sus aplicaciones iniciado hace décadas. Nuestro objetivo general en los últimos años es el de contribuir al desarrollo del edificio teórico de la Teoría de Singularidades, principalmente en lo que se refiere a la extensión y simplificación de los esquemas de clasificación actuales, en la descripción geométrica de la estratificación de los espacios de funciones, y en el desarrollo de aplicaciones de esta teoría al estudio de los sistemas dinámicos y de objetos geométricos de muy variada naturaleza y a las ciencias físicas y biológicas. Nuestras objetivos en el presente periodo son: 1.- Continuar el estudio de los espacios de órbitas de familias de funciones homogéneas y cuasihomogéneas, en especial los de las formas cuárticas y quínticas y de las formas cuasihomogéneas relacionadas. 2.- Continuar el estudio de las funciones cuasihomogéneas, la construcción de nuevos invariantes para sus distintos tipos de clasificaciones y la obtención de algunos criterios generales para su clasificación. 3.- Desarrollar el estudio de las funciones cuasihomogéneas polares, buscando hasta qué punto se pueden demostrar en este contexto los resultados principales del caso cuasihomogéneo. 4.- Continuar desarrollando las implicaciones de estos resultados teóricos en la teoría de sistemas dinámicos, en el estudio de polinomios y operadores, en la geometría diferencial de superficies y en problemas teóricos derivados de las modelación de ritmos biológicos sistemas ecológicos.

Este proyecto pretende contribuir al mejor conocimiento de las singularidades de funciones y transformaciones y al desarrollo de sus aplicaciones a otras ramas de las matemáticas y de las ciencias biológicas y físicas. Las contribuciones específicas del presente proyecto serían: 1.- Descripción de los espacios de órbitas de las formas cuárticas y quínticas en dos variables y de las formas cuasihomogéneas relacionadas, incluyendo la descripción de sus grupos de isotropía. 2.- Resultados de clasificación de funciones cuasihomogéneas y cuasihomogéneas polares. 3.- Estudio de las singularidades de las separatrices explícitas de tipo algebraico que aparecen en ecuaciones diferenciales en dos variables. 4.- Descripción de las singularidades de las variedades de puntos periódicos de familias de sistemas dinámicos alrededor de puntos fijos con un valor propio múltiple, o con varios valores propios distintos que son raíces de la unidad. 5.- Caracterización de las singularidades que aparecen en el estudio de los polinomios y los operadores lineales y algunos problemas derivados de la modelización de ritmos biológicos y sistemas ecológicos. 6.- Formación de personal académico con la conclusión de las tesis doctorales de Vinicio Gómez Gutiérrez y de Genaro de la Vega y la dirección de las tesis de maestría de Carisa Cano Figueroa y las de licenciatura de Mónica de Nova Vázquez y de Miguel Ángel Guadarrama García.