I. Este proyecto que hemos llamado "Topología Geométrica-5" es básicamente un proyecto de investigación en varios aspectos de esta rama de las matemáticas. Se pretende contribuir esencialmente en el desarrollo de esta área científica. La importancia del Proyecto reside en el reciente crecimiento de interés en problemas generales relacionados con las acciones de grupos topológicos. Tiene como objetivo principal seguir fomentando el desarrollo de la Teoría equivariante de Retractos y de Acciones de grupos en las variedades de dimensión infinita y sus aplicaciones tanto en México como en el nivel internacional. Propongamos las siguientes líneas de investigación: 1.Hiperespacios de Gromov-Hausdorff y sus subespacios. 2. La topologìa de los compactos de Banach-Mazur. 3. Acciones de grupos compactos de Lie en variedades de dimensión infinita. Generalizaciones del V Problema de Hilbert sobre acciones transitivas. 4. Teoría equivariante de retractos y de formas (shape). 5. El estudio de hiperespacios de conjuntos convexos de ancho constante. 6. G-espacios universales libres. 7. Fibraciones equivariantes. II. También es un proyecto de formación de investigadores y especialistas en Matemáticas. Además de la contribución científica a la Topología Geométrica, este proyecto se consagra básicamente a dos propósitos fundamentales: A. Aportar a la preparación de recursos humanos en México. En el proyecto participan 12 investigadores, 2 alumnos de doctorado, 2 alumnos de maestría y 2 alumnos de licenciatura de la UNAM. Se espera que 1 alumno de doctorado, 2 de maestría y 2 de licenciatura terminen sus tesis relacionadas con los temas de este proyecto. Además, la otra alumna de doctorado va a tener avance importante en su investigación para su tesis doctoral. Se planea, en el último año del proyecto involucrar a otros alumnos de licenciatura en los temas de este proyecto. Otro aspecto fundamental de este proyecto tiene que ver con la difusión de la investigación. En este sentido, se presentarán en congresos nacionales e internacionales los resultados que se obtengan de estas investigaciones. B. Establecer nuevos enlaces nacionales e internacionales. Este proyecto tiene que ver con la realización de trabajo conjunto de los grupos de investigación y docencia del país: Facultad de Ciencias de la UNAM, IMATE-Morelia, Facultad de Ciencias Fisico-Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP), Escuela de Ciencias Matemáticas de la Universidad Juárez del Estado de Durango (UJED). Es importante hacer notar que este proyecto ya lleva funcionando bastantes años y que ha sido apoyado por el PAPIIT en varias ocasiones, y que hemos obtenido muchos y muy buenos resultados, tanto de investigación como de formación de recursos humanos, y de difusión. Además, se han logrado consolidar los grupos que trabajan en Topología Geométrica tanto en la Facultad de Ciencias de la UNAM como en las dichas unidades de la BUAP y de la UJED.

El presente proyecto se consagra a la investigación de los grupos topológicos de transformaciones o de G-espacios desde el punto de vista geométrico. Varios problemas clásicos (el problema de paralelizabilidad de sistemas dinámicos dispersos, el problema de métrica invariante de R. Palais, la Conjetura sobre el hiperespacio de Gromov-Hausdorff y otros) junto con algunos problemas importantes nuevos (como el problema de compactos de Banach-Mazur, el espacio universal métrico de Urysohn, hiperespacios equivariantes, etc) constituyen el eje de la teoría moderna de grupos topológicos de transformaciones. Este proyecto precisamente esta dedicado a dichos problemas. Los nuevos métodos que se planean desarrollar en este proyecto harán avanzar los conocimientos del área. Se pretende obtener avance sustantivo en la solución de casi todos los problemas mencionados. Por esta razón este proyecto va a tener un impacto definitivo en el área y va a marcar una rama de desarrollo a largo plazo. Este proyecto contribuye a la formación de recursos humanos, a la superación de grupos de trabajo e investigación en diferentes universidades de la república. Cabe mencionar que en el proyecto están involucrados 10 investigadores nacionales, 2 alumnos de doctorado, 2 alumnos de maestría y 1 alumno de licenciatura. Se espera que 2 alumnos de doctorado, 2 de maestría y 1 de licenciatura terminen sus tesis relacionadas con los temas de este proyecto. Además, otros 2 alumnos de doctorado van a tener avance importante en su investigación para su tesis doctoral. Por esta razón, el presente proyecto también es un proyecto de formación de investigadores y especialistas en Matemáticas. Además de la contribución científica a la Topología Geométrica, esperamos que de este proyecto se va a beneficiar la Sociedad de la República Mexicana através de nuevos jóvenes investigadores quienes van a contribuir directamente al sector educativo de la Sociedad.