El proyecto se enfoca en dos aspectos de la geometría compleja, que son la teoría de singularidades y las acciones de grupos discretos en espacios complejos. Cada uno de estos temas es en sí mismo una importante rama de la matemática, clásica y contemporánea, con tienen fuertes relaciones entre sí, y con fuertes relaciones también con otras áreas. Nuestro estudio de acciones de grupos puede considerarse también como parte de los sistemas dinámicos holomorfa. Ésta es una generalización del estudio de grupos Kleinianos, comenzado por Poincaré hace mas de 110 años y es un area en la que hay riqueza ilimitada. En cada una de estas ramas de investigación, teoría de singularidades y acciones de grupos discretos en variedades complejas, tenemos grupos de investigación conocidos y reconocidos internacionalmente. Y en cada una de estas áreas, tenemos lineas propias de investigación y estudiantes de posgrado. En teoría de singularidades nuestro grupo es una de las referencias a nivel mundial. En éste colaboramos los doctores José Seade, José Luis Cisneros-Molina, Jawad Snoussi, y en cierta forma Fuensanta Aroca, Lucia Lopez de Medrano, en Cuernavaca. Además tenemos parte de nuestro equipo en Brasil: Los doctores Roberto Callejas y Aurelio Menegón, en Joao Pessoa, Michelle Morgado en la Universidad de Sao Paulo en Sao Jose, y Haydeé Aguilar, quién este septiembre comenzará un posdoctorado en la Universidad de Sao Paulo. De hecho, Aurelio, Michelle y Haydeé hicieron su doctorado bajo la dirección del Dr. Seade. Tenemos también fuerte interacción con investigadores de la UNAM en Ciudad Universitaria, así como con diversos investigadores del CIMAT y otras instituciones nacionales y en otros países. Cabe mencionar que nuestro proyecto contempla una amplia formacion de recursos humanos. Pero no solicitamos dinero para estudiantes para el primer anho, pues todos tienen beca CONACYT. En grupos Kleinianos tenemos un grupo muy pujante, formado por los doctores Seade y Angel Cano en Cuernavaca, Waldemar Barrera y Juan Pablo Navarrete en Yucatán, y Luis Loeza en Ciudad Juarez. Navarrete y cano fueron estudiantes de doctorado de José Seade. Luis Loeza comenzó su posgrado en la UNAM y desde hace algunos años está como profesor en Ciudad Juarez, y está por terminar su doctorado con Angel Cano. El propósito central de nuestro proyecto de investigación, para los próximos tres años, es continuar fortaleciendo nuestra presencia e impacto a nivel nacional e internacional, basados en trabajos de investigación de cada vez mas alta calidad, dando una alta prioridad a la formación de recursos humanos. En 2014 tendremos un año muy activo, con visitas de varios expertos internacionales. El año culminará con una Escuela CIMPA, que tendrá lugar en Cuernavaca, durante las últimas dos semanas de noviembre, seguida de un congreso internacional sobre "Singularidades en geometria, Topologia y dinámica" en el cual participarán la mayoría de los líderes mundiales del tema, asi como una fuerte representación mexicana, particularmente de la UNAM. Es importante remarcar que los visitantes que estaremos trayendo durante el año, beneficiarán no sólo a los integrantes de este proyecto, sino a muchos investigadores y estudiantes mas, de la UNAM y de otras instituciones, pues muchos de ellos son especialistas de primera linea mundial, que trabajan en áreas de interés para mucha gente. Por mencional algunos nombres: A. Guillot, C. Cabrera, T. gendron y A. verjovsky en Cuernavaca, L. Ortiz y E. Rosales en C.U., Muciño en Morelia, etc.

Nuestro grupo en teoría de singularidades ya es una referencia a nivel mundial. Y nuestro grupo en dinámica holomorfa (acciones de grupos discretos en variedades complejas) continua creciendo y consolidándose. Ya ganamos un premio internacional por nuestra monografia "Complex Kleinian Groups". Queremos consolidar escuelas de investigación de primera linea a nivel mundial en éstas dos lineas de investigación: teoría de singularidades y acciones de grupos discretos en variedades. Para ésto, se publñicarán artículos de excelente nivel internacional, y continuaremos dando una alta prioridad a la formación de recursos humanos. También organizaremos escuelas especializadas, para atraer mas estudiantes de posgrado. Todo lo anterior contribuirá a fortalecer la Unidad Cuernavaca y a todo el Instituto de Matemáticas de la UNAM, asi como al posgrado en Matemáticas de nuestra universidad, y en el pais. En las secciones de "Objetivos" y "Metas por año" se ahonda en las contribuciones esperadas. A continuación trataré de describir las ideas centrales de lo que estamos haciendo. Una variedad analítica (real o compleja) es, básica,mente, un espacio topológico que está localmente definida por ecuaciones analíticas (reales o complejas). En un conjunto así, siempre hay un subconjunto abierto y denso, que son los puntos regulares: aquellos donde tiene estructura de variedad diferenciable. El complemento son los puntos singulares. El caso mas simple es cuando tenemos una función polinomial $f$ en varias variables (reales o complejas). Este define una variedad al considerar el conjunto $V(f)$ de puntos donde $f=0$. Los puntos en $V(f)$ que son puntos críticos de $f$ son sus singularidades. Por un lado estamos interesados en estudiar el comportamiento de las fibras (o superficies de nivel $f^{-1}(t)$ cerca de un punto crítico (aquí $f$ es, mas generalmente, una función analítica en $n$ variables, con valores en $R^k$ (o $C^k)$. Éste es un problema básico, que aparece en muchas ramas de la matemática, y la ciencia en general. Nuestro punto de vista es principalmente topológico, y hemos podido hacer contribuciones significativas a este respecto, abriendo lineas de investigación, en las que hoy trabaja gente en Francia, Brasil, España y Japón, por supuesto además de México. Por otro lado, desde el punto de vista global, cuando $V$ es una variedad analítica compleja, compacta, si no tiene singularidades, entonces tiene sus clases de Chern, que son invariantes fundamentales en geometria y topologia, y tienen fuerte relación con la teoria de indices de Poincaré-Hopf de campos vectoriales. Cuando la variedad es singular, no hay una noción de clases de Chern, ni una noción de índice de Poinacré-Hopf para campos vectoriales. El estudio de los invariantes correspondientes para variedades singulares, ha sido uno de mis principales temas de estudio por muchos años, habiendo hecho contribuciones fundamentales a la teoria. Desde el punto de vista de grupos Klenianos, nuestro grupo de investigación esta sentando las bases para el estudio sistemático de grupos Kleinianos en dimensión dos. Nuestra monografia "Complex Kleinian groups" es una contribución importante para la teoria. Cabe mencionar que los grupos Kleinianos en dimensión 1, son una de las áreas de la matemática en la que mas gente ha sido galardonada con la Medalla Fields, como por ejemplo, Ahlfors, Thurston, Margulis, Deligne y Mostow.