Este proyecto tiene como finalidad, por un lado, continuar con algunas de las lineas de investigación que han sido establecidas en los proyectos: SISTEMAS ESTRATIFICANTES (PAPIIT-UNAM IN115905 período 2005-2006) y SISTEMAS ESTRATIFICANTES II ((PAPIIT-UNAM IN101607-3 período 2007-2009). Dichas lineas son: Teoría de categorías funtorialmente finitas y homología relativa en conexión con sistemas estratificantes. Por otro lado, estudiaremos homología relativa en categorías trianguladas._x000D_ _x000D_ En base a lo anterior, por un lado, generalizaremos la Teoría de aproximaciones en el "Contexto de Auslander-Buchweitz" para categorías trianguladas. Por otro lado, se pretende generalizar e interrelacionar las 3 primeras direcciones o “contextos” importantes que fueron iniciados por Auslander en homología relativa a saber: El contexto de Auslander-Buchweitz (dimensiones homológicas relativas), Auslander-Reiten (Teoría de aproximaciones) y Auslander-Solberg (subfuntores del Ext^1(-,-)) . _x000D_ _x000D_ _x000D_ Los resultados obtenidos en los proyectos antes mencionados, en los últimos 4 años, han sido publicados y/o aceptados en los siguientes articulos:_x000D_ _x000D_ 1.- O. Mendoza, C. Saenz. “Tilting Categories with applications to Stratifying Systems”. Journal of Algebra 302 (2006), 419-449._x000D_ _x000D_ 2.- E. N. Marcos, O. Mendoza, C. Saenz, R. Zuazua. “ Quadratic forms associated to Stratifying Systems”. Journal of algebra 302 (2006) 750-770._x000D_ _x000D_ 3.-E. N. Marcos, O. Mendoza, C. Saenz. “ Applications of Stratifying Systems to the finitistic dimension”. Journal of pure and applied algebra 205 (2006) n°2, 393-411. _x000D_ _x000D_ 4.- F. Huard, M. Lanzilotta, O. Mendoza. “An approach to the finitistic dimension conjecture”. Journal of algebra 319 (9) (2008), 3918-3934._x000D_ _x000D_ 5.- O.Mendoza, C. Saenz, C. Xi.“Homological systems in module categories over pre-ordered sets”. Quarterly Journal of Mathematics 60 (2009), 75-103._x000D_ _x000D_ 6.- F. Huard, M. Lanzilotta, O. Mendoza.“Finitistic dimension through infinite projective dimension”. Bulletin of the London Math. Soc. 41 (2009), 367-376._x000D_ _x000D_ 7.-L. Angeleri-Hugel, O. Mendoza..“Homological Dimensions in Cotorsion pairs”. Aceptado en el Illinois Journal of Math. (2009). _x000D_ _x000D_ 8.- E. N. Marcos, M. Lanzilotta, O. Mendoza, C. Saenz. “On the relative socle for Stratifying Systems”. Aceptado en el Comm. in algebra (2009).

La teoría de Categorías Funtorialmente Finitas y su relación con la teoría Tilting han sido muy importantes, desde sus inicios, en los trabajos de Auslander y colaboradores, en Homología relativa para álgebras de artin; así como también para los recientes desarrollos de la homología relativa en anillos asociativos con unidad (ver [1], [2], [6] y [7]). Por otro lado, recientemente, las categorías trianguladas han sido objeto de estudio extensivo en diferentes áreas de las matemáticas. Ésto debido a que han resultado ser una poderosa herramienta, que ha sido aplicada con éxito, para resolver problemas importantes tanto en geometría como en álgebra._x000D_ Por esta razon es importante extender dichas teorías al contexto de las categorías trianguladas, lo cual es una meta de este proyecto. _x000D_ _x000D_ Por otro lado, existen 3 direcciones o "contextos" importantes que fueron iniciados por Auslander en homología relativa, a saber: El contexto de Auslander-Buchweitz (dimensiones homológicas relativas), Auslander-Reiten (Teoría de aproximaciones) y Auslander-Solberg (subfuntores del Ext^1(-,-)) (ver referencias de la [1] a la [5]). Dichos contextos estan dados sólo para módulos finitamente generados sobre una álgebra de artin. Por lo tanto, es muy importante generalizar dichos contextos para categorías trianguladas, e inclusive relacionarlos con sistemas estratificantes; las cuales son las otras metas de este proyecto._x000D_ _x000D_ _x000D_ REFERENCIAS:_x000D_ [1] M. Auslander, R.O. Buchweitz. “The Homological Theory of Maximal Cohen-Macaulay Approximations”. Societe Mathematique de France. Memoire 38 (1989) 5-37._x000D_ [2] M. Auslander, I. Reiten. “Applications of Contravariantly Finite Subcategories”. Advances in Math. 86 (1991) 111-152._x000D_ [3] M. Auslander, O. Solberg. “Relative Homology and representation theory I”. Comm. In algebra, 21 (9), 2995-3031, (1993)._x000D_ [4] M. Auslander, O. Solberg. “Relative Homology and representation theory II”. Comm. In algebra, 21 (9), 3033-3079, (1993)._x000D_ [5] M. Auslander, O. Solberg. “Relative Homology and representation theory III”. Comm. In algebra, 21 (9), 3081-3097, (1993)._x000D_ [6] R. Gobel, J. Trlifaj. “Approximations and Endomorphism Algebras of Modules”. Editorial Walter de Gruyter, 2006._x000D_ [7] O. Mendoza, C. Saenz. “Tilting Categories with applications to Stratifying Systems”. Journal of Algebra 302 (2006)  419-449.