El proyecto tiene el propósito de investigar dos problemas: I) Patrones en el cálculo de Schubert. II) Cohomología equivariante de estructuras reales en variedades tóricas. Además de realizar un taller de geometría algebraica de una semana en el verano de 2009. Se incluyen en el presupuesto tres becas de tesis de licenciatura. Explicaré los dos problemas de investigación. I) Patrones en el cálculo de Schubert. El cálculo de Schubert ha sido uno de las más activas áreas de geometría algebraica y combinatoria en la última década. Su objeto de estudio es la interacción entre la geometría y la combinatoria de variedades de banderas. Estas variedades algebraicas son espacios cuyos puntos son subspacios lineales de espacios vectoriales, y su geometría es importante en muchas áreas. Tan solo menciono que haces vectorias sobre variedades diferenciales son clasificadas como pull backs de haces vectoriales sobre grassmanianas, que son variedades de banderas. Alrededor de 1990, fue observado que patrones de permutaciones fueron clave para entender las singularidades de las variedades de Schubert. Quizás la mejor explicación geométrica de este hecho está dado por la teoría geométrica de los patrones de permutaciones por Billet y Graden, "Lower bounds for Kazhda-lusztig polynomials from patterns". Ellos relacionan los patrones de permutaciones con ciertos encajes de ciertas variedades de banderas en otras más grandes, de tal forma que de aquí se puede deducir las singularidades que se buscan. Sottile y algunos coautores usan una versión simplificada de esto para entender los mapeos entre los diferentes anillos de las cohomologías de las variedades de banderas involucradas, y dan nuevas fórmulas para los elementos de cohomología asociados a las variedades de Schubert. En principio debería de ser posible usar el análisis más completo de Billet y Braden para llevar a cabo este programa para todas las variedades de banderas, y para todas las teorías de cohomología, por ejemplo, K-teoría, cohomología equivariante, etc. En este proyecto queremos completar este programa, empezando por escribir explícitamente los mapeos entre los anillos de cohomología y entonces explorar sus consecuencias, que en particular deberían de incluir nuevas fórmulas para los elementos asociados a las variedades de Schubert. II) Cohomología equivariante de estructuras reales de variedades tóricas. Es muy útil considera un variedad algebraica sobre los reales como un subconjunto de las variedad compleja X, consistente de todos los puntos de X que son invariantes bajo conjugación compleja. Es imporante notar que la conjugación compleja actúa en la cohomología, con coeficientes en los reales, de X obteniéndose así un invariante más finito que la cohomología. Este punto de vista nos lleva al teorema de desigualdades de Smith-Thom, los cuales comparan la cohomología de X con la de X restringida a los números Reales, los puntos reales de X que son los de nuestro interés. versiones refinadas de cohomología captura la información codificada en simetrías dadas por acciones de grupos, tal como conjugación compleja, la cual tiene como grupo los enteros módulo 2. Borel desarrollo la cohomología equivariante. Ésta tiene la "desventaja" de primero hace al grupo actuar libremente antes de calcular la cohomología, y por lo tanto pierde la información sobre la acción original y sobre el conjunto de puntos fijos. sin embargo, los puntos fijos son precisamente el conjunto de las soluciones reales y nuestro principal objeto de estudio. Un invariante mucho más fino de este tipo es la cohomología de Bredon. Ésta es un anillo bigraduado con la graduación dada por la representación real de Z(2), los enteros módulo 2. La cohomología de Bredon está relacionada con varios invariantes geométricos algebraicos y diferenciales, como las cohomologías motívica y de Deligne, respectivamente. Delanauy ha clasificado las estructuras reales de variedades tóricas para el caso de superficies y 3-folds. Para esto usa el mapeo momento asociada a la variedad tórica. La naturaleza explícita de estas variedades y esta fibración deberían permitirnos usar herramientas estándares (sucesiones espectrales) para calcular los anillos de la cohomología de Bredon de estas variedades tóricas reales. Nuestro propósito es calcular los anillos de cohomología de Bredon de las variedades reales tóricas.

A) Investigación: El proyecto tiene como propósito obtener dos resultados, en el contexto expuesto en la síntesis. I) Generalizar los resultados de Billey and Braden y de Sottile et. a cohomología más generalizadas, además de extender el resultado a variedes de banderas más generales. II) Calcular la cohomología de Bredon de las estructuras reales de variedades tóricas. B) En recursos humanos terminarán los tres estudiantes adscritos a este proyecto sus tesis de licenciatura y empezarán sus estudios de maestría.