En este proyecto se plantea trabajar en las áreas de dominación e independencia en gráficas y en las descomposiciones de gráficas. En particular, se estudiarán las gráficas críticas con respecto al su número de dominación, la dominación e independencia bicromáticas, el número de aislamiento y las descomposiciones de gráficas relacionadas con el máximo grado medio.
La criticalidad con respecto a la dominación se refiere a gráficas cuyo número de dominación crece o decrece siempre que se registre un cambio específico entre cualquiera de sus vértices o aristas. En el tema aquí propuesto se plantea trabajar con las gráficas llamadas 3-dominante críticas y las 3-total-dominante-críticas, las cuales tienen muchas propiedades muy interesantes. Estas últimas están directamente relacionadas con una famosa conjetura de Murty y Simon, cuya solución es uno de los objetivos planteados.
El tema de dominación e independencia bicromáticas es una propuesta de investigación innovadora que se deriva de viejos problemas de ajedrez. En el siglo 19, aficionados del ajedrez y matemáticos se interesaron por ciertos problemas de colocación de piezas en un tablero de ajedrez. Estas cuestiones pueden traducirse a problemas de Teoría de Gráficas y, aunque varias de ellas no han sido resueltas en su totalidad, sí han sido estudiadas ampliamente. En la investigación que concierne a este proyecto, se toma en cuenta una variación de estos problemas, la cual da pie a una teoría nueva dentro de la dominación y la independencia en gráficas que puede ser prometedora.
El tercer tema aquí planteado trata del llamado número de aislamiento, el cual está altamente relacionado con la dominación y la independencia sin ser precisamente una fusión entre estos dos conceptos. Se abre con esto la investigación en un área que muestra un dinamismo interesante y que podrá traer resultados importantes dentro de la Teoría de Gráficas.
Los últimos dos temas que se plantean tienen que ver con la descomposición de gráficas en subgráficas con ciertas condiciones sobre el máximo grado medio. Los problemas a tratar están relacionados con el número de arboricidad, el número cromático y otros tipos de coloraciones. También se tratarán problemas de descomposiciones de gráficas en subgráficas balanceadas según su máximo grado medio.

En la era actual en donde la tecnología avanza a un grado desorbitante, en donde se acumulan grandes masas de datos, en donde la globalización crea redes infinitas de interconexión, como el internet y las redes de telecomunicaciones, o en donde las grandes redes sociales cobran cada vez más importancia y en donde la química y la biología se topan con los límites tecnológicos y necesitan de otras herramientas para poder ver más allá del simple funcionamiento de las células, es fundamental aprovechar el gran potencial de las matemáticas en todo su rigor. En especial, la Teoría de Gráficas nos permite analizar todo tipo de redes, desde redes de interconexión (redes telefónicas, el internet, etc.) hasta redes de transporte, redes neuronales o redes sociales. Es por eso que la investigación en este área debe ser apoyada desde todos sus niveles, empezando por el apoyo a la investigación en la ciencia básica, como son las matemáticas puras.

El proyecto aquí presentado cubre cinco temas diferentes, concentrados en las áreas de dominación, independencia y descomposiciones de gráficas e hipergráficas, los cuales pueden tener un sin fin de aplicaciones en la vida real. Diversos problemas de optimización en redes pueden traducirse a problemas de dominación o independencia en gráficas, con todos sus matices. De igual manera, diferentes problemas de repartición pueden ser trasladados a problemas de descomposiciones de gráficas. El presente proyecto propone el estudio de este tipo de problemas desde el punto de vista plenamente matemático y pretende contribuir con resultados de relevancia científica al crecimiento y enriquecimiento de la Teoría de Gráficas en las áreas que le conciernen.
Por otro lado, con excepción del tema 1.1 sobre gráficas críticas, en el cual el objetivo principal es resolver una conjetura relativamente vieja pero, a su vez, actual, los demás temas propuestos son, en esencia, innovadores. Por esta razón y por la naturaleza de cada uno de los problemas propuestos, los cinco temas son de interés general para los matemáticos especialistas en Teoría de Gráficas. Así pues, se buscará hacerle difusión a los resultados que surjan de esta investigación mediante presentaciones en conferencias a nivel nacional e internacional y publicaciones científicas de alto nivel internacional.

Por último, el proyecto tiene contemplada la colaboración activa con investigadores nacionales e internacionales (de Israel, Sudáfrica, Estados Unidos, España, Francia), quienes formarán parte del grupo de trabajo, así como la participación de estudiantes con miras a la realización de sus tesis de licenciatura, maestría o hasta doctorado. Cabe destacar que varios de los investigadores involucrados en este proyecto, como Yair Caro, de la Universidad de Haifa-Oranim, Israel, y Michael Henning, de la Universidad de Johanesburgo, Sudáfrica, son matemáticos altamente reconocidos a nivel internacional en sus áreas de investigación, dando así un valor agregado a la calidad de este proyecto. Así pues, no solo se contribuirá a ampliar las redes científicas de los matemáticos involucrados en este proyecto hacia aguas internacionales, sino que se podrán establecer conexiones importantes entre matemáticos nacionales y externos, además de que se apoyará fuertemente, y siempre aspirando a una alta calidad científica, la formación de recursos humanos a escala nacional.