El proyecto propone investigar aspectos anali´ticos y geometricos de las soluciones a sistemas meca´nicos integrables sujetos a restricciones no-holo´nomas. Estas son restricciones en las velocidades que no se pueden reducir a restricciones en las posiciones. La dificultad en el estudio de estos sistemas proviene de que las ecuaciones de movimiento no poseen una estructura Hamiltoniana. Como consecuencia, el famoso Teorema de Arnold-Liouville de integrabilidad Hamiltoniana no puede aplicarse y existe un entendimiento muy pobre del significado de integrabilidad en este contexto. En los u´ltimos 40 an~os ha habido un intere´s nuevo en esta clase de sistemas, desde el punto de vista de las aplicaciones (teori´a de control, robo´tica) y en sus aspectos fundacionales. Es interesante que existan un nu´mero considerable de ejemplos ho-holo´nomos cuyo comportamiento es similar al de un sistema Hamiltoniano integrable. Concretamente, el espacio de fases esta´ foliado (casi-donde-quiera) por toros invariantes donde la dina´mica es rectili´nea. Este feno´meno esta´ relacionado con la Hamiltonizacio´n del sistema que a su vez tiene una estrecha relacio´n con la existencia de una medida invariante. Una parte importante del proyecto considera los aspectos geometrico-algebrai´cos de las soluciones exactas a ciertos sistemas no-holo´nomos. En el centro de este estudio esta´ la existencia de una medida invariante. Este estudio considera un aspecto anali´tico importante de una serie de feno´menos que han sido estudiados de manera geome´trica por el investigador a cargo de este proyecto. El proyecto tambie´n propone estudiar la integrabilidad de sistemas no-holo´nomos concretos. Estos incluyen versiones multi-dimensionales de sistemas fi´sicos y el movimiento acoplado de cuerpos rígidos con vo´rtices. Finalmente, el proyecto considera el estudio de la estabilidad de equilibrios relativos en sistemas no-holo´nomos.

El proyecto persigue mejorar la comprensión sobre la estructura de sistemas no-holónomos integrables. Se propone establecer un puente entre los elementos analíticos y algebraícos involucrados. Los aspectos analíticos en cuestión provienen del área de la integrabilidad algebraíca, donde las superficies de Riemann, las variedades abelianas y las funciones theta tienen un papel fundamental. Por otra lado, los elementos geométricos provienen del campo de la mecánica geométrica donde el investigador a cargo del proyecto tiene amplia experiencia. El elemento matemático clave que relaciona los aspectos analíticos y geométricos es la existencia de una medida invariante. A largo plazo, esta investigación será la base para considerar perturbaciones, modulaciones,invariantes adiabáticos y análisis asintótico de sistemas no-holónomos cercanos a la integrabilidad.