Las ecuaciones diferenciales parciales han demostrado ser una herramienta muy poderosa para una variedad de fines y propósitos. Es además un área del conocimiento con una estructura muy rica y que presenta muchos retos para aquellos que se interesan en ella. Entre los retos teóricos se encuentran la existencia y unicidad de soluciones, locales y globales, para diferentes ecuaciones y sistemas. Desde el punto de vista teórico, algunos de los retos que se presentan pueden ser: 1) Eficiencia. Se requiere que los algoritmos a producir calculen soluciones aproximadas de manera correcta. En muchos contextos, los algoritmos pueden generar soluciones completamente erróneas si los métodos numéricos no se construyen con cuidado. Esto ocurre sobre todo en la presencia de ondas de choques. Por lo general no es posible encontrar soluciones exactas a ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Es importante entonces generar métodos eficientes que nos garanticen que la respuesta que obtenemos es cercana a la que se pretende aproximar. 2) Rapidez. En aplicaciones complejas donde se necesita el manejo de datos grandes, como en problemas bidimensionales (inundaciones) o tridimensionales (turbulencia), la ejecución del algoritmo puede llegar a durar horas, días o hasta semanas. La rapidez se vuelve una prioridad en estos casos. Para este fin, estrategias como cómputo en paralelo, optimización, y parametrización son herramientas comunes a utilizarse. Los retos teóricos y los numéricos se pueden entrelazar de manera interesante. Explicaré una situación muy general donde esto ocurre. Las leyes de conservación hiperbólicas son una clase de ecuaciones diferenciales parciales de la forma U_t+F(U)_x=0, y donde el flujo F(U) tiene un jacobiano con un sistema de eigenfunciones completo y eigenvalores reales. Muchos de los fenómenos geofísicos pueden explicarse con estos sistemas. Por ejemplo, los flujos de agua en canales así como tsunamies se modelan con las ecuaciones de Saint-Venant. La turbulencia se puede modelar con las ecuaciones Boussinesq. Incluso el tráfico en una ciudad se pueden modelar con estas leyes de conservación. La mayoría de ellas se derivan al asumir conservación de masa, balance de momento y conservación de energía. Estos sistemas comparten varias propiedades generales. Por ejemplo, la presencia de soluciones estacionarias son comunes, y es importante que los métodos numéricos reconozcan cuando existe uno de estos estados estacionarios. En todos estos sistemas, la información espectralmente viaja a velocidad finita. Cuando información mas rápida sobrepasa información mas lenta, se forman ondas de choque, es decir, discontinuidades. Entonces como hablar de derivadas parciales de soluciones discontinuas? Esto es posible mediante el uso de la teoría de soluciones débiles, que prácticamente consiste en escribir las ecuaciones en forma integral y buscar por las condiciones de brinco en las discontinuidades. A éstas se les conoce como condiciones Runkine-Hugoniot. Existen además otras ondas como las de rarefacción y de compacto, que necesitan incluirse y explicarse en la teoría, así como las condiciones de entropía, etc. Sin estás condiciones, habría una infinidad de soluciones débiles de ondas de choque para las mismas condiciones iniciales, lo cual no es físicamente posible. Como hacer entonces que los métodos numéricos converjan a la solución correcta cerca de una discontinuidad? Peter Lax, el padre de la matemática aplicada introdujo mucha de la teoría básica usada en los métodos numéricos actuales. Otro tipo de retos es aún mas aplicado. En particular, uno de mis intereses es la aplicación de las ecuaciones diferenciales parciales en las ciencias atmosféricas. En este caso, el enfoque es desarrollar modelos matemáticos que expliquen diferentes fenómenos atmosféricos como las tormentas y huracanes entre otros. En este proyecto nos enfocaremos en dos de los aspectos mencionados anteriormente. Una parte del proyecto se enfocará en las aplicaciones atmosféricas. En particular, estudiaremos simulaciones numéricas de tormentas y analizaremos desde varios puntos de vista como bajo ciertas condiciones propicias en la atmósfera se da lugar a las tormentas por inestabilidad, y por otro lado como la presencia de las nubes cambia el entorno en el que viven y pueden así cambiar las condiciones en las que fueron originadas. De manera mas precisa, estudiaremos como ocurre el transporte de momento vertical por convección, lo cual cambia la variabilidad vertical del viento. Este tema es de relevancia actual y su interés ha ido aumentando en los últimos años, pues se ha observado que la falta del entendimiento de este proceso es una de las deficiencias principales en la predicción del clima. A esta parte del proyecto le llamaremos "Inestabilidades por Convección". Otra parte del proyecto estudiará métodos numéricos eficientes para la ecuación de Saint-Venant. Se cubrirán variantes de estas ecuaciones como gradientes de temperatura, y también flujos de agua en canales con geometría arbitraria y dos capas. Las dos capas surgen por lo general al haber diferencias en las densidades, y se considera de densidad constante en cada capa. A estas ecuaciones se les llama "two-layer shallow water". A esta segunda parte del proyecto le llamaremos "Leyes de Conservación Hiperbólicas".

Inestabilidades por convección: Como hemos visto y se ha podido corroborar numéricamente, hay condiciones propicias en la atmósfera que facilitan la organización de nubes individuales en estructuras mas grandes. En particular, una variabilidad vertical pronunciada en el estado base del viento cerca de la superficie es idónea para la formación de una tormenta. Sin embargo, la presencia de las nubes puede cambiar el contorno en el que se encuentran, presentando una relación de causa y efecto complicada. Se podría en principio presentar dos escenarios: a) Condiciones atmosféricas propicias puede generar la organización de nubes, y a su vez la presencia de nubes cambiar el entorno y destruir estas condiciones propicias, o b) Las condiciones propicias generar aún mejores condiciones para que la tormenta se mantenga. Este proceso se puede explicar mediante el siguiente razonamiento: En un ambiente húmedo, la energía potencial convectiva disponible se puede convertir en energía cinética del flujo. A este proceso se le llama transporte de momento convectivo (“Convetive Momentum Transport” CMT, por sus siglas en inglés), y ocurre porque la evolución de (U,V) está dada principalmente por el promedio horizontal de d(u'w')/dz y d(v'w')/dz visto como una función de (z,t), y que denotaremos como CMT(z). A este término CMT(z) se le conoce como el término de aceleración. De esta manera, la variabilidad vertical del estado base del viento puede propiciar la organización de nubes y esta organización a su vez puede cambiar la variabilidad vertical del estado base. Otras aplicaciones se pueden encontrar en Majda and Stechmann (2008a,2008b,2013). Lemone (1983) fue uno de los primeros en descubrir la importancia de los procesos CMT en sistemas MCS como la tormentas. Desde entonces, se han hecho muchos estudios de la importancia de este proceso en diferentes contextos y escalas. Como ejemplo, citamos a Wu y Moncrief (1996), donde se demostró en modelos CRM (“Cloud Resolving Models”) que la generación de energía cinética por procesos CMT son comparables con la generada por la fuerza de flotamiento del sistema (buoyancy). Además de su importancia en el contexto de tormentas, ahora se sabe que también juegan un papel muy importante en los fenómenos a escalas planetarias como MJO y en su interacción multi-escalar en la atmósfera tropical (Yanai et al. 2000). En este proyecto, se pretende explicar los transportes de momento convectivo utilizando modelos multi-escalares. Esto representará un avance importante en la presente área aplicaciones, y un modelo multi-escalar servirá como una herramienta para este fin. Leyes de conservación hiperbólicas: Las ecuaciones Saint-Venant, o también conocidas como ecuaciones de agua poco profundas, han demostrado ser una muy buena aproximación para modelar una variedad de fenómenos atmosféricos como tsunamis, inundaciones, movimientos de agua con 2 capas (a menudo causadas por diferencia en densidad debido a la salinidad del océano), además de usarse para estudiar interacciones entre ondas inercio-gravitacionales cuando se incluye rotación, y recientemente el sistema conocido como Ripa, que incluye gradientes de temperatura. Al modelar un tsunami, por ejemplo, la mayor parte del océano está en estado estacionario, y el tsunami en sí representa una perturbación que se propaga grandes distancias. Mas aún, esta perturbación y a pesar de su fuerza destructiva, tiene una amplitud pequeña comparada con la profundidad de vasto océano. Este aspecto tiene la siguiente implicación. El método numérico debe “reconocer” de manera automática cuando existen estados estacionarios. Es decir, si la velocidad del fluido es cero y su altura total constante, la solución exacta permanece independiente del tiempo, y la solución numérica debería hacer lo mismo. De no hacerlo, los pequeños errores introducidos serían de la misma magnitud que la perturbación que se quiere modelar. Por lo general es posible construir en casi cualquier clase de métodos algoritmos que incorporen esta propiedad, la cual se conoce comúnmente como “well-balanced”. De esta manera, el método será mucho mas preciso cuando exista una perturbación a un estado estacionario. Otro de los aspectos a considerar es la positividad de la profundidad del agua, que denotaremos por “h”. En problemas de inundaciones, es necesario considerar estados secos (h=0) y mojados (h>0), y por consiguiente habrá estados con profundidad muy pequeña. Pequeños errores pueden generar profundidades h que sean pequeñas pero negativas, lo cual no es físicamente aceptable y por lo general provoca la ruptura del método numérico. Incorporar esta propiedad es algo mas delicado, y la facilidad o dificultad con la que se incorpora esta propiedad depende mucho de la clase de modelo que se tenga en mente. En los últimos 10 años el interés por considerar modelos eficientes que cumplan con las características señaladas ha ido incrementándose muy rápidamente. El presente proyecto busca analizar las ecuaciones Saint-Venant con gradientes de temperatura con la ayuda de modelos de tipo Roe y los de tipo central, así como los flujos de agua en canales arbitrarios con dos capas. Esto representará un avance en el área, ya que se extenderán las implementaciones de los métodos upwind y centrales a las ecuaciones Saint-Venant extendidas y las cuales incluyen mayor complejidad en los procesos.