Este proyecto tiene como fin profundizar el estudio de los objetos algebraicos, combinatorios y geométricos a los que han dado lugar las construcciones que el proponente ha llevado al cabo en su tesis doctoral y en sus trabajos de postdoctorado. Estas construcciones han consistido, a grandes ragos, en la asignación de carcajes con potenciales a las triangulaciones de superficies con puntos marcados. Los objetos algebraicos, combinatorios y geométricos que se desprenden de las construcciones aludidas han resultado ser útiles en geometría simpléctica, geometría compleja, geometría no conmutativa, e incluso en teorías cuánticas de campos en Física. Es intención del proponente estudiar las categorías trianguladas que surgen como categorías derivadas de ciertas álgebras construidas a partir de los carcajes con potenciales referidos en el párrafo anterior. De igual manera, se tiene el propósito de estudiar las posibles extensiones de los trabajos previos del proponente al caso de superficies con puntos orbifold, que surgen al considerar subgrupos discretos del grupo de isometrías del plano hiperbólico. Las construcciones realizadas por el proponente en el pasado son, en principio, de natureza combinatoria, pero dadas las conexiones con geometría recientemente descubiertas, se pretende en este proyecto estudiar la relación guardada con las teorías de Teichmüller de las superficies involucradas. Dado que muchos de los aspectos relacionados con los carcajes con potenciales y la teoría de Teichmüller son de naturaleza algorítmica, se tiene la intención de respaldar la investigación con la elaboración de paquetes de software científico que faciliten los cálculos y la visualización de los objetos algebraicos, combinatorios y geométricos a ser estudiados en el presente proyecto.

Como veremos en la sección de "Hipótesis" del proyecto, quien esto escribe desarrolló en [LF1,LF3] ciertas construcciones combinatorio-algebraicas que en un pricipio estuvieron enmarcadas dentro de la realización de álgebras de conglomerado como anillos coordenados de espacios de Teichmüller provista por Fomin-Shapiro-Thurston, Penner y Fock-Goncharov. Gracias en parte a una combinación con resultados de Amiot [Am1,Am2] y Keller-Yang [KY], las construcciones de [LF1,LF3] han encontrado eco y aplicación en teoría de representaciones, geometría y teorías cuánticas de campos. El presente proyecto contribuirá a mejorar el entendimiento de estos ecos y aplicaciones. Seamos más específicos. El proyecto que propongo contribuirá a entender los invariantes homológicos de la teoría de representaciones de las diferentes clases de álgebras que surgen de las construcciones de [LF1,LF3], así como la relación que guardan estos invariantes con la geometría y la topología que subyacen a las construcciones aludidas. Otra contribución consistirá en la extensión de los resultados de [LF1,LF3] a situaciones geométricas que, por sus mayores niveles de complejidad y tecnicismo, no fueron tomadas en cuenta en [LF1,LF3] (nos referimos aquí a las superficies con puntos orbifold, véase la sección "Hipótesis" del presente proyecto). Como resultado de estas contribuciones, se enviará al menos tres artículos de investigación a revistas arbitradas de impacto internacional, y se elaborará al menos dos paquetes de sorftware que faciliten el manejo y la visualización de los cálculos técnicos subyacentes a la investigación a realizar.