El objetivo de este proyecto de investigación es el de ahondar nuestro conocimiento sobre la estadística de valores extremos y estadística ordernada en sistemas de variables aleatorias fuertemente correlacionadas. Como se menciona en detalle en la sección de antecedentes, este tipo de estadísticas tienen una aplicación muy amplia en muchas ramas de la ciencia: desde la física, a la ingeniería, a las financas, a la cosmología, a los estudios climáticos, entre otros. Como laboratorio matemático de trabajo, utilizaremos herramientas y conceptos de la teoría de matrices aleatorias, ya que esta proporciona de forma natural modelos de variables aleatorias fuertemente correlacionadas: los autovalores de matrices aleatorias. En particular queremos enfocarnos en los siguientes puntos: 1. Derivar la estadística valores extremos y la estadística ordenada para el caso de los conjuntos de matrices aleatoria de Wishart, Jacobi y Cauchy, y hacerlo de forma unificada para el límite the matrices aleatorias grandes. 2. Introducir una metodología matemática para derivar funciones de correlación entre pares de autovalores. 3. Extender estos trabajos para el caso de matrices aleatorias de tamaño finito. 4. Extender estos trabajos a otros sistemas estocásticos fuertemente correlacionados. Este proyecto de investigación tiene una duración de dos años, a lo largo de los cuales se utilizarán herramientas avanzadas de teoría de matrices aleatorias y el método del fluido de Coulomb. Además todos los resultados analíticos obtenidos se contrastarán con extensos estudios numéricos y simulaciones de Monte Carlo.

Este es un proyecto muy innovador en el estudio de estadística de valores extremos y estadística ordenada de variables aleatorias fuertemente correlacionadas, que permitirá de forma unificada, el calcular lo que se conoce como función tasa que captura, en una sola función, las dos mencionadas estadísticas. Además, en el caso de valores extremos, este proyecto da un gran salto conceptual al permitir obtener de forma unificada las deviaciones a la izquierda y derecha respecto a los valores típicos de los extremos. Respecto a este último punto, y hasta la fecha, se tenían que utilizar métodos matemáticos distintos para ambas desviaciones. Nuestro análisis matemático se llevará a cabo en autovalores de matrices aleatorias y esperamos extenderlo a otros sistemas como, por ejemplo, señales de tipo 1/fα, movimiento Browniano, superficies fluctuantes, entre otras. Puesto que nuestro marco de trabajo es la teoría de matrices aleatorias, pasamos a describir de qué forma este proyecto de investigación ahonda y complementa los trabajos [45–60, 74, 85–87]. Primero de todo, aparte de los trabajos extremadamente matemáticos [85, 86], la estadística del k-ésimo autovalor no ha sido estudia con detalle. Además dichos trabajos sólo ofrecen la estadística típica y no desviaciones grandes. En el trabajo [60] ya adelantamos que vamos más allá de los resultados [85, 86], encontrando la función tasa que describe todo tipo de desviaciones (típicas y atípicas) en el límite asintótico de matrices muy grandes. Este proyecto de investigación permitirá un análisis más profundo de la estadística ordenada. Segundo de todo, y respecto a la estadística de valores extremos, no existía hasta la publicación del trabajo [60] una forma, utilizando el método del fluido de Coulomb, de obtener ambas desviaciones, a la izquierda y a la derecha del valor típico extremo. Por ejemplo, centrándonos en las desviaciones del valor extremo máximo, el fluido de Coulomb sólo permitía derivar las desviaciones a su izquierda (véase por ejemplo [45, 46]), mientras que para desviaciones a su derecha otras metodologías tenían que ser utilizadas como, por ejemplo, argumentos de balance energético [74], métodos formales matemáticos [87], u otras teorías matemáticamente bastante elaboradas (e.g. loop theory). Por tanto, nuestro trabajo permite unificar en una sola teoría el cálculo de desviaciones extremas. Para llevar este proyecto de investigación a buen puerto el investigador principal está en proceso de asegurar la participación de un equipo internacional de renombre, algunos de los cuales ya han confirmado (Gregory Schehr, Eytan Katzav, Peter J Forrester, Viktor Eisler, Joachin Krug) su participación en este interesante proyecto (por confirmar están Satya Majumdar, Reimer Kühn, Sydner Redner y Géza Györgyi). Esto permitirá dar más visibilidad al trabajo que se realiza en el Instituto de Física y, a su vez, invitar a estos gigantes de la física a visitar IFUNAM y dar coloquios. Además esperamos la participación activa de estudiantes de licenciatura, maestría, y doctorado. Hay que hacer notar que el presupuesto relacionado viajes (211, 212, 214, 218, 248) excede un poco más del 25 % del presupuesto total anual. Espero que la comisión entienda que queremos invitar a colegas de renombre internacional a visitar IFUNAM, lo cual supondrá un gran beneficio para esta institución