Los politopos abstractos son estructuras combinatorias que cumplen con algunas de las propiedades de los sólidos platónicos y demás politopos convexos regulares. Su estudio comenzó en la década de los 80's y desde entonces se ha desarrollado en distintas direcciones. Dentro los conceptos estructurales que definen la categoría de los politopos abstractos están las cubiertas, en particular las cubiertas regulares. Es sabido que todo politopo abstracto tiene cubiertas regulares, y en muchos casos, tienen una única cubierta regular mínima. Gordon Williams y Michael Hartley determinaron la cubierta regular mínima de los 13 sólidos arquimedianos y del pseudo sólido arquimediano por medio del uso de un programa de computadora. En todos esos casos la cubierta es única, sin embargo los resultados no han arrojado suficiente luz que permita suponer resultados generales y proponer teoremas. En 2009 Gordon Williams y yo comenzamos a trabajar en las cubiertas regulares mínimas de las teselaciones arquimedianas, con el fin de tener el primer ejemplo usando politopos infinitos. Los resultados obtenidos a la fecha son de interés no sólo desde el punto de vista combinatorio, sino también geométrico, algebráico y topológico. Recientemente Barry Monson, Gordon Williams y yo probamos que hay politopos para los cuales hay una infinidad de cubiertas regulares mínimas. En esa dirección hay diversas preguntas aún sin respuesta como son determinar condiciones necesarias y/o suficientes para que un politopo tenga cubierta regular mínima única, determinar el índice de la cubierta más pequeña en caso de que sea finito, etc. Confiamos que para ello las técnicas que hemos utilizado serán útiles.

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