El objetivo del proyecto es el de estudiar la divisibilidad infinita, un concepto clave de la probabilidad y de los procesos estocásticos, en contextos más amplios de lo que se hace tradicionalmente. La divisibilidad infinita usualmente se estudia en el espacio euclideano en dimensión n y planteamos estudiarla en el caso de espacios de funciones (infinito dimensional) mediante el concepto de procesos infinitamente divisibles o también llamados procesos afines. Esta clase de procesos contiene a los procesos de ramificación continua con inmigración y a los procesos de tipo Ornstein-Uhlenbeck y por lo tanto a los procesos más importantes que ocurren en la práctica. Pensamos obtener construcciones de estos procesos al utilizar una técnica de cambios de tiempo que ya hemos probado en el caso unidimensional y con esto podríamos proponer esquemas de simulación generales para esta clase de procesos. Se plantéan 3 direcciones de investigación: la primera llevaría a cabo la construcción de procesos afines multidimensionales. La segunda estudiaría a los árboles cronológicos (continuos) y a su genealogía asociada dando una construcción de los llamados árboles de Lévy supercríticos. La tercera exploraría la construcción de la solución a una ecuación diferencial parcial estocástica, la llamada densidad del super-movimiento browniano unidimensional, al utilizar las técnicas del proyecto sobre procesos afines. El objetivo del proyecto es el de estudiar la divisibilidad infinita, un concepto clave de la probabilidad y de los procesos estocásticos, en contextos más amplios de lo que se hace tradicionalmente. La divisibilidad infinita usualmente se estudia en el espacio euclideano en dimensión n y planteamos estudiarla en el caso de espacios de funciones (infinito dimensional) mediante el concepto de procesos infinitamente divisibles o también llamados procesos afines. Esta clase de procesos contiene a los procesos de ramificación continua con inmigración y a los procesos de tipo Ornstein-Uhlenbeck y por lo tanto a los procesos más importantes que ocurren en la práctica. Pensamos obtener construcciones de estos procesos al utilizar una técnica de cambios de tiempo que ya hemos probado en el caso unidimensional y con esto podríamos proponer esquemas de simulación generales para esta clase de procesos. Se plantéan 3 direcciones de investigación: la primera llevaría a cabo la construcción de procesos afines multidimensionales. La segunda estudiaría a los árboles cronológicos (continuos) y a su genealogía asociada dando una construcción de los llamados árboles de Lévy supercríticos. La tercera exploraría la construcción de la solución a una ecuación diferencial parcial estocástica, la llamada densidad del super-movimiento browniano unidimensional, al utilizar las técnicas del proyecto sobre procesos afines. Aunque los procesos afines o infinitamente divisibles contienen a muchos de los modelos concretos utilizados en las áreas de finanzas o de dinámica poblacional (como los CIR, Ornstein-Uhlenbeck, procesos de Lévy, procesos de ramificación contina), no se reconocen en las aplicaciones como una sola clase. Esto se debe a que los estudios de procesos afines son usualmente analíticas (y basadas en el generador infinitesimal) en vez de que estos procesos sean construidos a partir de procesos más sencillos (como los procesos de Lévy). Espero con este proyecto profundizar en el análisis probabilístico de estos procesos y con esto hacerlos más populares en la práctica.

Espero que el proyecto avance la comprensión probabilística de los llamados procesos afines. Estos procesos son una clase importante de procesos infinitamente divisibles en los que hay mucho interés en las áreas de Finanzas y Estadística. Sin embargo, usualmente no se les reconoce como miembros de una sola clase ni se hace énfasis en que pueden ser bloques de construcción para procesos más generales gracias a su carácter infinitamente divisible. Parte de su importancia radica en la posibilidad de hacer cálculos explícitos para esta clase. Espero poder complementar el conocimiento que se tiene sobre procesos afines al poder estudiarlos a nivel trayectorial en vez de sólo analítico en términos de la transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales ordinarias asociada . Además, espero dar esquemas de simulación generales para esta clase de procesos que sirvan para estimar cantidades relacionadas a estos procesos mediante métodos tipo Monte Carlo.