Este proyecto está enmarcado en la teoría de aproximación y más concretamente en el estudio teórico y aplicado de problemas biespectrales. Los principales objetivos del proyecto se pueden dividir en tres bloques. En primer lugar ampliar el conocimiento actual sobre aplicaciones reales del análisis espectral de procesos de Markov bidimensionales. En segundo lugar completar resultados sobre polinomios ortogonales de tipo Krall. Y en tercer lugar el estudio de sistemas integrables no conmutativos que impliquen la obtención de ecuaciones de Painlevé no conmutativas. Para ello van a ser necesarias herramientas de la teoría de funciones especiales y polinomios ortogonales, en particular de la teoría de polinomios ortogonales matriciales, problemas de Riemann-Hilbert, sistemas integrables o análisis de Fourier. El proyecto tiene un marcado carácter internacional, con la colaboración de tres investigadores extranjeros y dos investigadores del propio Instituto de Matemáticas, todos ellos con una excelente trayectoria investigadora. Aparte de objetivos científicos, el proyecto contempla la formación de recursos humanos, en particular la realización de dos tesis de licenciatura con temas relacionados con los objetivos del proyecto, y además la adquisición de equipo de cómputo avanzado y especializado que permita comparar los modelos matemáticos planteados en este proyecto. El Instituto de Matemáticas de la UNAM es uno de los mejores centros de matemáticas de México y de Latinoamérica del momento. El investigador responsable se acaba de incorporar recientemente y está esperando el próximo septiembre su incorporación al Sistema Nacional de Investigadores (posiblemente Nivel I). El Instituto de Matemáticas dispone de la infraestructura necesaria para la realización con éxito de las actividades de investigación que propone el proyecto.

Este proyecto propone la ampliación del conocimiento en ciertas áreas aplicadas de la teoría de aproximación, funciones especiales y polinomios ortogonales. En concreto, en el plano investigador, se pretende buscar aplicaciones reales del análisis espectral de procesos de Markov bidimensionales, completar los resultados sobre polinomios ortogonales de tipo Krall y encontrar familias matriciales semi-clásicas que verifiquen ecuaciones de Painlevé no conmutativas (véase la sección de Hipótesis y Objetivos para más detalles). Los resultados innovadores que se generen en este proyecto serán la base de proyectos futuros relacionados con el área o de otras áreas aplicadas. En el plano de formación de recursos humanos, se contempla la realización de dos tesis de licenciatura por parte de dos alumnos de último año que se incorporarían en el primer año del proyecto para trabajar en problemas relacionados con los objetivos del proyecto. En el segundo año del proyecto es posible que se puedan incorporar otros alumnos tanto de licenciatura como de maestría. También se pretende contribuir a la consolidación del grupo de Análisis Matemático del Instituto de Matemáticas de la UNAM, al cual se acaba de incorporar recientemente el investigador responsable. Por ello, el proyecto tratará de atraer a colaboradores de reconocida trayectoria investigadora en el área para trabajar con el investigador responsable, como F. Alberto Grünbaum de la University of California at Berkeley, Antonio J. Durán de la Universidad de Sevilla o Mattia Cafasso de la Université d'Angers, así como de colaborar con investigadores ya establecidos en el Instituto de Matemáticas como la profesora Eliane Rodrigues o el profesor Natig Atakishiyev. Los resultados científicos que se deriven del proyecto se difundirán en tres direcciones: - Editorialmente: por medio de su publicación en revistas internacionales de matemáticas, matemáticas aplicadas o física matemática de reconocido prestigio e impacto, en las que los participantes del proyecto vienen publicando habitualmente sus trabajos. - Informáticamente: por medio de la página web del investigador responsable http://www.matem.unam.mx/mdi29/ o por medio de páginas donde se pueden subir manuscritos de investigación como http://arxiv.org/. - Personalmente: en los congresos y conferencias nacionales e internacionales de las áreas científicas relacionadas con el proyecto, así como en los centros de investigación nacionales e internacionales por medio de los seminarios y conferencias impartidas por los participantes del proyecto.