El proyecto pretende impulsar el estudio de la teoria de álgebras de conglomerado en México y consolidar nuestro grupo de trabajo. En este proyecto se abrirá una nueva línea de investigación (sobre categorificación multiplicativa) y se perseguirá una que se empezó recientemente sobre álgebras de conglomerado tubulares. También se pretende de involucrar a los estudiantes en los desarrollos de la investigación y así proveerles una buena oportunidad de conectarse en la labor de investigación que ya tiene un nivel internacional.

Con este proyecto pretendemo consolidar la investigación de nuestro grupo de trabajo en el tema de álgebras de conglomerado, un tema que se encuentra en rápido desarrollo. En particular queremos seguir y ampliar nuestras investigaciones sobre álgebras de conglomerado tubulares con nuestros estudiantes. Las investigaciones se dirigirán hacia la descripción combinatoria de la gráfica de intercambio de estas álgebras. Para ello, la categorificación (aditiva) será de gran ayuda. Una línea nueva de investigación que quisieramos emprender es la categorificación multiplicativa con categoría monoidales de ciertas álgebras de conglomerado. La idea es que se identifica el álgebra de conglomerado en cuestion con el anillo de Grothendieck de esta categoría y los monomios de conglomerado serán las clases de ciertos objetos simples. Con ello se logrará verificar la positividad de la expansion de conglomerado en los casos estudiados y se obtiene una base canónica. Candidatos de estas categorías son las representaciones de dimensión finita de álgebras cuánticas afines, ver los trabajos recientes de Hernandez-Leclerc [HL] y [Na3]. Esperamos elaborar dos o tres articulos de investigación en este tema y que al menos dos estudiantes de maestría concluyan sus estudios obteniendo el grado en el periodo de este proyecto. Otro desasrollo interesante es la conección entre la geometria de Poisson y estructuras de álgebras de conglomerado en los álgebras de cooredenadas correspondientes - descubiertos por Gekhtman-Shapiro-Vainshtein [GSV1], [GSV2] y Goodearl-Yakimov [GY]. En muchos de estos ejemplos tambien se conoce una categorificación additiva [GLS1], [GLS2] pero no en todos. Seria muy util ver como se relacionan la geometria de Poisson y las categorías directamente. Para avanzar en esta dirección quisieramos invitar hacia finales de 2011 varios especialistas )Derksen, Leclerc, Shapiro, Yakimov) de los dos campos para lograr un intercambio de ideas. Con la participación de los investigadores de nuestro grupo en el ICRA (International Conference on Representations of Algebras) en 2010 en Japón se dará difusión al trabajo de investigación realizado y con la asistencia de los alumnos de este grupo se les dará una magnífica oportunidad de conocer investigadores de otros paises y poder interrelacionarse con ellos.