Este proyecto continúa investigaciones ya publicadas en revistas con arbitraje y está centrado en categorías de dimensiones más altas, mónadas, seudomónadas, leyes distributivas y sus generalizaciones, muchas veces en el contexto de categorías monoidales. _x000D_ _x000D_ A continuación presentamos los problemas que serán considerados dentro del proyecto._x000D_ _x000D_ 1. En un trabajo previo a este proyecto se encontró una manera de describir las álgebras de una mónada y las leyes distributivas entre mónadas de tal forma que se evita la iteración de los funtores involucrados, la complejidad es transferida a los morfismos entre los objetos pero en ejemplos particulares resulta mucho más sencillo verificar esta condiciones que las originales. Buscaremos dar una versión similar para las doctrinas KZ, sus álgebras y las leyes distributivas entre doctrinas KZ. _x000D_ _x000D_ 2. Muy ligado al punto anterior, dado que las doctrinas KZ son casos especiales de seudomónadas, está el trabajo de dar una versión que no necesite la iteración de los seudofuntores involucrados de seudomónada, de las álgebras para una seudomńada y de las leyes distributivas entre seudomónadas. Esto permitirá su aplicación de forma más sencilla ya que las condiciones de coherencia necesarias para demostrar que algo es una ley distributiva entre seudomónadas son muy complicadas._x000D_ _x000D_ 3. Muchas de las aplicaciones de mónadas y seudomónadas se dan en teoría de la computación. Un reto que pretendemos abordar en este proyecto es el de producir versiones accesibles a los investigadores y estudiantes de computación que están menos interesados en por qué funciona la teoría y más en como aplicarla. _x000D_ _x000D_ 4. Una de las generalizaciones de mónadas va en la dirección de contextos de Morita. En trabajos anteriores a este proyecto se han estudiado los teoremas clásicos de las álgebras de Eilenberg-Moore y el teorema de Beck en estas generalizaciónes. Esto apunta a intentar dar una versión unificada de los conceptos de herd, flock y torsor en categorías monoidales. La idea central es que hay que subir una dimensión para poder hacer esto, es decir, se debe intentar encontrar el concepto correcto en una tricategoría de manera que estos conceptos de herd, flock y torsor sean imágenes en distintas direcciones de este concepto unificado._x000D_ _x000D_ 5. Continuando con categorías monoidales, este proyecto pretende encontrar las propiedades adecuadas que cumple el producto tensorial en la 2-categoría Ext de categorías extensivas, funtores que preservan coproductos finitos y transformaciones naturales entre estos, para obtener una descripción más conceptual de su aplicación a la teoría combinatoria.

Las contribuciones que se esperan de este proyecto son:_x000D_ _x000D_ 1. Encontrar formulaciones de doctrinas KZ, álgebras para dichas doctrinas y leyes distributivas entre éstas en las que no sea necesaria la iteración:_x000D_ _x000D_ Las doctrinas KZ son las seudomónadas no triviales más simples cuya descripción usual está dada en términos de sucesiones fieles y plenas de adjuntos. La formulación buscada pretende describir toda la estructura, esto es, la seudomónada, sus álgebras y las leyes distributivas entre estas clases de seudomónadas en términos de extensiones de Kan._x000D_ _x000D_ 2. Encontrar formualaciones de seudomónadas, algebras para dichas seudomónadas y leyes distributivas entre éstas en las que no sea necesaria la iteración:_x000D_ _x000D_ Las descripciones de leyes distributivas entre seudomónadas son muy complicadas. Para hacerlas más accesibles y útiles es necesaria una significativa simplificación. Es precisamente esta simplificacion la que se busca lograr al evitar la iteración de los diferentes seudofuntores involucrados. La simplificación lograda para mónadas será la guía para la dirección que tomemos para seudomónadas._x000D_ _x000D_ 3. Describir las diferentes versiones para teoría de la computación:_x000D_ _x000D_ Muchas de las aplicaciones de mónadas y leyes distributivas son en computación. En general los investigadores en esta área están menos interesados en por qué funcionan las cosas que en cómo aplicarlas. Se espera escribir uno o dos artículos explicativos de los avances logrados para esta área del conocimiento._x000D_ _x000D_ 4. Describir la estructura bicerrada del producto tensorial en la categoría de categorías extensivas y describir su relación con la teoría combinatoria._x000D_ _x000D_ F. W. Lawvere y Matías Menni aplican la teoría de las categorías para la teoría combinatoria. En dicha descrición ellos optan por escribir todo en términos elementales aunque mencionan que parece posible describir toda esta estructura con el producto tensorial en la categoría de categorías extensivas. Aquí apostamos a que esto sí es posible e intentamos dar tal descripción._x000D_ _x000D_ 5. Encontrar la definición correcta de 3-flock en una tricategoría que unifique los conceptos de herds, flocks y torsores:_x000D_ _x000D_ Queremos relacionar conceptos algebraicos, en particular, teoría de Hopf-Galois y coanillos, conceptos en geometría no conmutativa, en particular, grupos cuánticos y torsores, y conceptos en topología cuántica de campo y teoría de categorías. Se pretende proveer de un enfoque universal para torsores no conmutativos, unificando los distintos conceptos de herds, torsores, y flocks. Para tal propósito, se propone usar teoría categórica en dimensiones más altas; en particular, se consideraran 3-flocks, es decir estructuras tipo torsor, dentro del marco de una tricategoría. Este enfoque será aplicable a (co-)cuasi-Hopf álgebras que proveerán de un nuevo ejemplo de torsor._x000D_ _x000D_ 6. Reconstrucción de las leyes distributivas mixtas para un 3-flock:_x000D_ _x000D_ Encontrar la definición correcta de leyes distributivas entre 3-flocks para aplicaciones a herds, flocks y torsores._x000D_ _x000D_