Los sistemas fuera de equilibrio juegan un papel de importancia fundamental tanto dentro como fuera de la física, entre ellos destacan: transporte termodinámico, agregación irreversible, epidemias, evolución y un sinfín de fenómenos más que también pertenecen a esta categoría. Sin embargo, a diferencia de los sistemas en equilibrio, no hay una teoría unificadora para describir a los sistemas fuera del equilibrio, por esta razón, por lo pronto, cada sistema debe ser estudiado individualmente y, frecuentemente, con herramientas particulares para cada caso. Dentro de la inmensa variedad de fenómenos que caben bajo la descripción de ser sistemas fuera de equilibrio, debido tanto a su importancia conceptual como a su importancia intrínseca, en este proyecto nos enfocaremos específicamente a los siguientes temas:_x000D_ _x000D_ 1) Procesos en redes: en muchos casos, el substrato sobre el que tiene lugar el proceso de interés está desordenado. En ciertos casos, se trata de un desorden a corto alcance y se puede modelizar como una perturbación sobre una red regular. Existen, sin embargo, casos que van mucho más allá: baste pensar, por ejemplo, en una red de líneas aéreas o la red de las conexiones Internet para darse cuenta que hay casos en que el desorden del substrato toma una forma cualitativamente novedosa. De hecho, este tipo de redes complejas son la herramienta natural para describir estructuras sociales, sistemas de comunicación y estructuras biológicas entre otras. Así, la propagación de epidemias, opiniones y rumores pueden ser representados como procesos de transporte en estos sistemas. Un problema central en este campo se refiere al origen y crecimiento de las redes sobre las que ocurren los distintos procesos. Por ejemplo, como discutiremos más adelante, la estructura de la red de regulación genética debe ser el resultado de un proceso de evolución, a través de mutacion y selección natural. Por ende, se abren dos perspectivas en este tema: por un lado la estructura y formación de estas redes complejas, y por otro, la dinámica de procesos que ocurren sobre estas redes_x000D_ _x000D_ 2) Transporte: El énfasis en el estudio del transporte se debe a que la presencia de flujos es un fenómeno ubicuo en sistemas fuera de equilibrio, aun en el estado estacionario. A pesar de los muchos esfuerzos a lo largo de la historia, los sistemas fuera de equilibrio han eludido una descripción general análoga a la que existe para sistemas en equilibrio. De hecho, esto representa una de las lagunas más grandes de la física teórica contemporanea. Para avanzar en este tema, proponemos continuar estudiando sistemas de difusión determinista, como la que se observa en canales poligonales o en gases de Lorentz, así como sus contrapartes estocásticas. Por otro lado, trataremos de caracterizar estadísticamente sistemas con correlaciones espaciales y/o temporales, como las que se observan en estados fuera de equilibrio._x000D_ _x000D_ 3) Agregación: La agregación irreversible es un proceso inherentemente fuera de equilibrio. Este fenómeno ocurre en la formación de hollín, precipitación atmosférica, agregación coloidal, e incluso en la formación de redes complejas. Dependiendo de las tasas de agregación entre los diversos componentes del sistema, este proceso puede dar lugar a una enorme variedad de comportamientos dinámicos y muy distintas distribuciones de agregados. En este proyecto, además de las aplicaciones que pudiera haber en la formación de redes, planteamos estudiar procesos de agregación en donde ocurre el fenómeno de gelación, es decir, se forme un agregado de tamaño infinito (o mejor dicho, macroscópico) en un tiempo finito. La comprensión cualitativa (en el sentido de una teoría de escalamiento) de este proceso en el marco de las ecuaciones cinéticas ha sido muy difícil. Es el propósito de este proyecto adelantar nuestro entendimiento de este proceso enfocándonos en el caso en que la gelación es instantánea: este caso, cuya existencia sólo se conoce desde el 2000, presenta aspectos que lo hacen más sencillos, pero podría arrojar cierta luz sobre lo que sucede en el caso general._x000D_ _x000D_ 4) Procesos estocásticos: Una herramienta de particular utilidad en la modelación y caracterización de los sistemas que planteamos estudiar son los procesos estocásticos. Los procesos estocásticos son una simplificación que busca reproducir la fenomenología que resulta de eventos cuya predicción causal resulta imposible de hacer. Por ende, tienen aplicaciones en un sinfín de situaciones donde hay eventos impredecibles, desde juegos de azar, finanzas, sistemas biológicos, procesos físicos y muchos más. Sin embargo, a pesar de representar una simplificación considerable, el comportamiento de sistemas regidos por procesos estocásticos sigue presentando retos teóricos y conceptuales fundamentales. Aunado a esto, sigue sin ser clara la conexión entre la naturaleza del proceso estocástico y el proceso subyacente al que se busca sustituir. Por ejemplo, ciertos sistemas, como los procesos de búsqueda, podrían ser más fielmente reproducidos por procesos estocásticos “con memoria” para evitar visitar los mismos sitios muchas veces. En otros sistemas, como los sistemas hamiltonianos con comportamiento mixto, las órbitas pueden quedarse atoradas en ciertas regiones del espacio fase durante intervalos de tiempo muy largos y luego volver a una región caótica; tales sistemas podrían ser descritos por procesos con tiempos de espera con colas largas. Otros sistemas podrían ser descritos por procesos correlacionados temporal o espacialmente, etc, etc. En este contexto, se plantea también el análisis de procesos de nacimiento y muerte, ya que trabajo preliminar indica que bajo ciertas condiciones las soluciones estacionarias de estos procesos dan lugar a distribuciones beta-generalizadas, del tipo que han sido encontradas en una variedad sorprendente de sistemas. Este análisis busca a contribuir a un entendimiento, proceso dependiente, de los parámetros que caracterizan este tipo de distribuciones._x000D_ _x000D_ _x000D_ En resumen, en este proyecto planteamos estudiar a varios niveles ciertos sistemas fuera de equilibrio, escogidos por su importancia intrínseca y por su potencial de avanzar en el entendimiento conceptual de este tipo de sistemas. Específicamente, proponemos enfocarnos en el estudio de procesos de nacimiento y muerte, procesos de agregación, procesos de transporte y fenómenos relacionados, tanto en redes regulares como en redes complejas, y para estas últimas, la dependencia de sus propiedades topológicas y dinámicas ante distintos mecanismos de evolución._x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_

Contribuciones Científicas:_x000D_ La contribución principal de la parte del proyecto relativa a evolución de redes es entender los mecanismos evolutivos que han dado origen a las estructuras y dinámicas de las redes genéticas de regulación observadas en los organismos actuales. Este es un problema de fundamental importancia en el campo de Biología de Sistemas, debido a que el funcionamiento de las redes de regulación y el papel que juegan dentro de los sistemas biológicos dependen de sus propiedades estructurales y dinámicas, las cuales a su vez dependen de procesos de crecimiento y selección aún desconocidos. Por lo tanto, entender cómo se generaron estas estructuras a lo largo de la evolución puede representar un gran avance en el entendimiento del papel que juegan dentro del metabolismo celular y cómo se acoplan con la red proteómica y las diferentes vías de señalización existentes. _x000D_ _x000D_ Por otro lado, se avanzará en el entendimiento y la caracterización de sistemas termodinámicos fuera de equilibrio. Al menos en lo que concierne la presencia de correlaciones espaciales y distribuciones de máxima entropía en la descripción de estos sistemas. Asimismo, se contribuirá al entendimiento de los mecanismos microscópicos deterministas que dan lugar a transporte normal y anómalo._x000D_ _x000D_ También se avanzará en el entendimiento de sistemas con gelación instantánea, lo cual podrá dar una idea de lo que pasa en casos más realistas donde la gelación ocurre en tiempo finito._x000D_ _x000D_ Se determinará la naturaleza de las procesos que dan lugar a las ubicuas distribuciones beta, con lo que podremos asignar significado a los parámetros que definen a estas distribuciones y sirvan para clasificar diversos tipos de sistemas._x000D_ _x000D_ Finalmente, se estudiará la evolución de procesos que interfieren unos con otros, especificamente la dinámica de opiniones y rumores en redes sociales. _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ Contribuciones cuantitativas:_x000D_ _x000D_ Se espera que al menos dos estudiantes obtengan el grado de doctorado y otro el grado de maestría realizando sus trabajos de tesis en el contexto de este proyecto. Asimismo, esperamos que se incorporen estudiantes de licenciatura para realizar sus trabajos de tesis en problemas relacionados con el proyecto. _x000D_ _x000D_ A partir de las diferentes lineas de investigación propuestas, esperamos publicar al menos 8 artículos en revistas indizadas de circulación internacional reportando nuestros resultados._x000D_ _x000D_