Las singularidades de espacios analíticos y algebraicos constituyen una preocupación sumamente importante en varias ramas de las matemáticas, con impacto significativo sobre otras ciencias, como la física, la biología, imagen médica etc... Hablando en términos generales, se trata de estudiar espacios que dejan de ser variedades diferenciables por la existencia de un anomalía. Por lo tanto, teoremas tan fundamentales como el de la función implícita dejan de ser válidos. La teoría de singularidades intenta sustituir estos teoremas por otros, en la medida de lo posible, y de clasificar en algún sentido el "tipo" de singularidades que aparecen._x000D_ El estudio de las singularidades se presenta de varias maneras: geomética, algebraica, analítica, topológica y combinatoria._x000D_ La teoría se desarrolló a lo largo de los siglos conforme se ha ido desarrollando la matemática. Se ha nutrido de todos y cada uno de los avances que ha conocido cada rincón de la matemática._x000D_ Nuestro proyecto enfoca sobre la comprensión de las singularidades locales de espacios analíticos y algebraicos complejos de dimensión 2 o sea, superficies._x000D_ El campo de investigación en esta dimensión sigue ampliamente abierto. Presenta la ventaja de ser de un cierto punto de vista una situación que se presta a la experiencia. Las secciones, los discriminantes, las fibras excepcionales de resolución, son curvas, y por ser estas ultimas muy bien entendidas y estudiadas, se puede obtener resultados sobre superficies que permiten elaborar una hipótesis de trabajo para dimensiones más altas._x000D_ Nuestro trabajo tiene varias orientaciones: Resoluciones y modificaciones de superficies, su interacción con la equisingularidad de la superficie a lo largo de su lugar singular. Una modificación de particular interés para nosotros será la modificación de Nash. Esta última es altamente relacionada con la familia de curvas polares en la superficie. Estudiaremos en particular el comportamiento de estas curvas bajo la modificación de Nash. La singularidades racionales de superficies, por prestarse al estudio combinatorio de sus gráficas de resolución constituyen una sub-categoría interesante de singularidades aisladas de superficies. Nos interesa en particular en este caso el estudio de las funciones sobre una singularidad racional a partir de ciclos sobre la fibra excepcional de la resolución minimal. _x000D_ _x000D_

El proyecto solicitado permitirá la colaboración entre D.T. Lê, M. Spivakovsky y J. Snoussi para estudiar la interacción entre la modificación de Nash de una superficie, su equisingularidad a lo largo de su lugar singular y la equisingularidad de la familia de curvas polares en la superficie obtenida por modificación de Nash. Esto permitirá la comprensión del efecto de una modificación de Nash sobre una superficie compleja. El objetivo último de esta dirección es de saber si una singularidad de superficie puede o no ser resuelta por una sucesión (finita) de modificaciones de Nash._x000D_ _x000D_ También, permitirá la colaboración entre M. Tosun, D.T. Lê y J. Snoussi para caracterizar los ideales del anillo de funciones holomorfas de una singularidad racional de dimensión 2, que corresponden a ciertos ciclos soportados en la fibra excepcional de la resolución minimal de la singularidad. Esto permitirá, con base en los trabajos de J. Lipman, “estratificar” las funciones de una singularidad racional de manera completamente combinatoria. _x000D_