Investigación:_x000D_ _x000D_ En esta síntesis expondré el contenido del proyecto que presento para ser evaluado. Las variedades de Chow fueron definidas hace como un siglo por Van der Warden y Chow. Son espacios que parametrizan el conjunto de subvariedades de una variedad proyectiva X. Debido a que este espacio es demasiado amplio como para poder tener una estructura de variedad, se toman las subvariedades que tienen una clase de homología, y por lo tanto tienen una dimensión fija. Con estas restricciones tenemos que este conjunto es una variedad algebraica proyectiva. _x000D_ _x000D_ Observe que cada elemento de homología determina una variedad que quizás es vacía si la clase de homología no es algebraica. Estas variedades son relativamente fácil de definir y hubo intentos de conocer sus propiedades como variedades algebraicas, en particular, saber su dimensión y de ser posible su homología y cohomología. Pero las variedades resultaron muy complicadas y hasta la fecha se conoce muy poco de ellas. _x000D_ _x000D_ Joe Harris junto con David Eisenbud han encontrado, en casi todos los grados, la dimensión de las variedades de Chow del espacio proyectivo de dimensión n. Blain Lawson estudió el monodie de ciclos algebraicos de dimensión p, sin fijar el grado. Se dio cuenta que es un espacio topológico y la homotopía de ésta se comporta como una homología. Eric Friedlander, Paulo Lima-Filho y Blaine Lawson desarrollaron esta teoría de Lawson y llamaron a esta homología, la homología de Lawson. Esta construcción tuvo un papel importante para el trabajo de Voevodsky en la construcción de su categoría de motivos. _x000D_ _x000D_ Hay dos proyectos de investigación a desarrollar en este proyecto. _x000D_ _x000D_ I) El primer proyecto trataremos de calcular las características de las variedades de Chow de las grassmannianas, además de los motivos puros módulo homotopía A^1. Para esto buscamos calcular la serie de Euler-Chow y la serie de Chow motívica de las variedades de Chow. Estas dos series son del tipo de series Z que tienen un contenido aritmético importante. La serie de Euler-Chow es aquella cuyos coeficientes son las características de Euler de las variedades de Chow. La serie motívica de Chow es aquella cuyos coeficientes son los motivos puros de las variedades de Chow. _x000D_ _x000D_ En algunos casos se han calculado ambas series, por ejemplo, la serie de Euler-Chow (EC) se conoce que es racional para variedades tóricas, y se sabe que no es racional para el blow up de P^2 en 9 o más puntos en posición general. _x000D_ _x000D_ II) El siguiente proyecto que se tiene es encontrar los números de Betti de cohomología de intersección de las variedades de Chow en el espacio proyectivo. En principio quizás sea más sencillo buscar conocer la cohomología de intersección que la cohomología singular. La razón para pensar esto es que hay un trabajo de Frances Kirwan en donde se prueba una versión análoga al teorema de descomposición de Brilinsky-Birula para cohomología de intersección. Recordemos que la cohomología de intersección está definida para variedades singulares y por esta razón el teorema de Kirwan puede ser de gran ayuda ya que se reduce a calcular la hipercohomología en un punto de una gavilla. _x000D_ _x000D_ III) El tercer proyecto es ver si la suspensión de Lawson es inyectiva en cohomología. Recordemos que la suspensión de Lawson es un isomorfismo homotópico, pero no sabemos su comportamiento en homología, o cohomología. _x000D_ _x000D_ Como parte del proyecto se trabajará la conjetura de Nagata para curvas. En un caso particular.

Los objetivos que nos planteamos es obtener resultados que nos permitan publicar un artículo en cada uno de los proyectos a investigar que presentamos. _x000D_ _x000D_ Siendo un poco más precisos nos proponemos calcular la cohomología de intersección para las variedades de Chow de cualquier grado en el plano proyectivo, . También quisieramos poder calcular la serie de Chow motívica al menos para las grassmannianas G(2,d). Dándonos cuenta de la dificultad de este problema, quisiéramos al menos calcular G(2,5). Es un caso que no se conoce hasta ahora._x000D_ _x000D_ En el caso de la conjetura de Nagata para curvas quisiéramos probar el caso en que la multiplicidad es 2. _x000D_ _x000D_