El presente proyecto consiste en el estudio de propiedades espectrales de operadores de Schrodinger que aparecen en varias areas de la Fisica Matematica asi como tambien de propiedades geometricas asociadas. En lo siguiente detallamos dichas areas y mencionamos los problemas especificos a estudiar asi como tambien la participacion de los integrantes del proyecto (incluyendo a los estudiantes). _x000D_ _x000D_ 1) Obtener la distribucion limite para valores propios en cumulos asociados al Hamiltoniano del atomo de hidrogeno inmerso en un campo magnetico constante (Efecto Zeeman) cuya magnitud depende del parametro de Planck $\hbar$. Dicho resultado sera establecido en el limite semiclasico considerando $\hbar$ tomando valores discretos _x000D_ $\hbar=1/N$ con $N$ tendiendo a infinito. Asi tambien, estudiar el fenomeno de acumulacion de valores propios en puntos asociados a valores criticos de la transformada de Radon de un simbolo resultante a lo largo de las orbitas clasicas del problema de Kepler. Participantes: P. Hislop, D. Ojeda y C. Villegas. _x000D_ _x000D_ 2) Aproximacion de valores y funciones propias en los cumulos descritos por A. Uribe y C. Villegas en una publicacion anterior para perturbaciones del atomo de hidrogeno de la forma $\epsilon(\hbar)Q_\hbar$ donde $\epsilon(\hbar)$ es un parametro de acoplamiento y $Q_hbar$ es un operador pseudodiferencial de orden cero y acotado. Hacer la aproximacion correspondiente para resonancias que aparecen cuando el atomo de hidrogeno esta inmerso en un campo electrico (Efecto Stark). P. Hislop y C. Villegas Blas han obtenido un teorema de distribucion limite para dichas resonancias en una publicacion anterior. Participantes: D. Ojeda y C. Villegas. _x000D_ _x000D_ 3) Estudio semiclasico del $\epsilon$-pseudoespectro y rango numerico de operadores de Schrodinger en la $n$-esfera con potencial continuo a valores complejos. Participantes: A. Uribe y C. Villegas._x000D_ _x000D_ 4) Estudio espectral del Hamiltoniano asociado a una particula moviendose en un reticula de grafito en el semiplano con condiciones de frontera de Dirichlet (el asi llamado "quantum spin Hall effect") mediante el uso de la teoria de matrices _x000D_ de transferencia. Mostrar que parte del espectro consiste de valores propios y con ello la existencia de corrientes de frontera. Hacer una descripcion de esto ultimo mediante el uso del invariante de Kane-Mele entendiendolo en base a aspectos topologicos como el numero de Chern adecuadamente definido. Relacionar dicha descripcion topologica con la definicion del invariante de Kane-Male dada por estos ultimos en una publicacion previa. Participantes: J. Avila, H. Schulz-Baldes y C. Villegas._x000D_ _x000D_ 5) Estudio asintotico de la fase del producto interno de dos estados coherentes _x000D_ para la n-esfera introducidos previamente por E. Diaz y C. Villegas. Dada experiencia previa en la literatura, es de esperarse que dicha fase este relacionada con el area simplectica de un triangulo adecuadamente definido en el espacio cotangente de la esfera y, mas aun, este dada por la fase de Berry asociada a una coneccion geometrica adecuadamente definida. Participantes: E. Diaz y C. Villegas._x000D_ _x000D_ 6) Obtener un producto estrella (en el sentido de la teoria de cuantizacion por deformacion) para dos funciones definidas en el espacio cotangente de la n-esfera. Mediante el uso de la regularizacion de Moser obtener un producto estrella para la cuantizacion del problema de Kepler.

La contribucion principal del proyecto consiste en el desarrollo de investigaciones de la teoria espectral de operadores de Schrodinger y su geometria relacionada tanto en el campo del analisis semiclasico de cumulos de eigenvalores como en el asi llamado _x000D_ "quantum spin Hall effect". Adicionalmente se espera obtener desarrollos para la teoria de cuantizacion por deformacion dando una nueva perspectiva de la cuantizacion por deformacion del problema de Kepler. Todo esto involucrando estudiantes de doctorado asociados al proyecto.