El proyecto estudiará las propiedades de sistemas cuánticos de fermiones correlacionados utilizando la teoría de campo medio de tipo Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) y así como los modelos generalizados tipo Hubbard. En particular, se estudiarán las características del espectro de las excitaciones colectivas en presencia de fases condensadas con el formalismo desarrollado recientemente en una dimensión utilizando la ecuación de Bethe-Salpeter[1-3]. Se analizarán los efectos de la presencia de pares en acoplamiento débil y fuerte para diferentes tipos de interacciones residuales entre los fermiones en dos y tres dimensiones a temperatura cero y a temperaturas finitas. De particular interés es el análisis de un sistema que transita entre los regímenes de alta densidad o interacciones débiles, típico de los mecanismos BCS y el de baja densidad o interacciones fuertes, característico de fenómenos asociados con la Condensación de Bose-Einstein (CBE) (BCS-CBE crossover). Se parte de la ecuación de Bethe-Salpeter para la construcción de las funciones de onda de los pares de fermiones que son superposiciones de pares de partículas y de pares de huecos. Este formalismo es una ampliación de la llamada " generalización de la aproximación de la fase aleatoria" (Generalized Random Phase Approximation) que permite obtener el espectro de excitaciones colectivas de sistemas de muchos fermiones. _x000D_ A partir de los resultados que ya hemos obtenido en una dimensión, se estudiarán con mayor detalle los modos colectivos de un sistema de fermiones con interacciones atractivas de contacto y en un modelo generalizado de Hubbard para dos y tres dimensiones. También se estudiarán las modificaciones que se surgen al restringir el tamaño del sistema._x000D_ Por otra parte, se abordará el problema de la formación de pares de Cooper con momento total del centro de masa diferente de cero cuando las poblaciones de los fermiones con espines 1/2 y -1/2 no están balanceadas. La posibilidad de crear un superfluido con pares de estas características es de gran relevancia a la luz de experimentos recientes con átomos de Litio-6 a muy bajas temperaturas en redes ópticas[4]. El estudio de estos estados, conocidos como estados de Fulde, Ferrell[5] , Larkin y Ovchinnikov[6] (FFLO), con los métodos de la ecuación de Bethe-Salpeter nos permitirá comparar nuestros resultados con los experimentos que se llevan a cabo actualmente._x000D_

Durante los últimos años, el grupo de Teoría de Muchos Cuerpos del departamento de Física Teórica en el Instituto de Física, en colaboración con investigadores de otros institutos de la UNAM, y del extranjero hemos estudiado propiedades de sistemas cuánticos de muchas partículas lo cual motiva y sustenta este proyecto de investigación. En particular, nos ha interesado estudiar los efectos que tienen los pares de agujeros en el estado base de un sistema de fermiones sujeto a la atracción entre electrones originada por el intercambio de fonones asociados con la red cristalina. De acuerdo con la teoría de BCS y bajo principios básicos de simetría y consistencia, es importante incluir la formación de pares de agujeros en la vecindad del nivel de Fermi junto con los ya familiares pares de Cooper. Históricamente se ha ignorado esta contribución porque al incluirla conduce a energías de amarre imaginarias cuando el sistema no perturbado es el gas ideal de electrones. Sin embargo, esta inestabilidad se puede resolver mediante la inclusión de las correlaciones BCS en el estado base con un tratamiento que parte de la ecuación de Bethe-Salpeter para construir las funciones de onda y las energías de los pares. Además, nuestro grupo ha analizado el caso más general cuando los pares de fermiones (partículas y agujeros) tienen momentos de centro de masa diferentes de cero obteniendo resultados novedosos en sistemas de dos y tres dimensiones a temperatura cero._x000D_ En los sistemas estudiados, derivamos relaciones de dispersión para los modos colectivos, es decir, para la energía de los pares en donde aparecen términos lineales en el momento de centro de masa. Este resultado tiene consecuencias importantes porque, en este caso, permite la CBE en dos dimensiones contrario a lo que sucede cuando la relación de dispersión de los bosones es sólo cuadrática. Al estimar los términos cuadráticos se obtienen energías complejas que sugieren el carácter de resonancia con vida media finita para los pares generalizados._x000D_ En fechas más recientes, nuestro grupo ha obtenido una descripción unificada en la que se demuestra que el espectro de excitación de los modos colectivos en el enfoque de Bethe-Salpeter coincide con el de BCS y el de la aproximación generalizada de fase aleatoria. Más aún, el formalismo es el mismo para el problema del espectro excitónico (pares de electrón-agujero en un semiconductor) que en los superconductores. Esto se debe a que una condensación Bose-Einstein de excitones y la superconductividad que resulta de la formación de pares de Cooper son manifestaciones del mismo fenómeno, es decir, son resultado del rompimiento espontáneo de la simetría. Sin embargo, en nuestro modelo, el espectro excitónico tiene una solución adicional no trivial además del llamado modo de Goldstone o trivial. La razón de ello es que en el formalismo, el cálculo de la dispersión de los modos colectivos involucra la solución de un determinante de 4 X 4 en lugar del determinante de 3 X 3 que obtienen otros autores en la aproximación generalizada de la fase aleatoria. _x000D_ El proyecto está orientado a la generalización de los resultados que ya hemos logrado para sistemas en una dimensión con interacción de contacto entre fermiones a temperatura cero. En una primera fase, abordaremos la formación de pares de Cooper en sistemas físicos de interés como son los superconductores de altas temperaturas, en donde el fenómeno de superconductividad se produce en planos bidimensionales y en sistemas susceptibles a tener una CBE. También analizaremos el caso de átomos fermiónicos polarizados en redes ópticas para caracterizar las propiedades de los estados FFLO. En este caso, utilizaremos un hamiltoniano de tipo Hubbard con el enfoque de Bethe-Salpeter a temperaturas cercanas pero diferentes de cero donde esperamos mejorar los cálculos recientes obtenidos por otros autores[18-20] ._x000D_ En una segunda etapa, se extenderá nuestro modelo al estudio de sistemas en tres dimensiones._x000D_