--Dinámica y Geometría de superficies planas--_x000D_ _x000D_ Esta parte del proyecto tiene como objetivo estudiar las superficies_x000D_ planas no compactas, típicamente con género infinito. _x000D_ _x000D_ Nos interesan tres aspectos de dichos objetos matemáticos (para más detalles ver objetivos):_x000D_ _x000D_ 1) El geométrico: estudiar los grupos de automorfismos de dichas superficies y las consecuencias que tiene para la geometría de la superficie contar con cierto tipo de automorfismos. Nos interesa entender qué tipo de superficies planas aparecen naturalmente como límite de foliaciones en una 3-variedad real complemento de un enlace. Nos interesa determinar el tipo de singularidades que puede tener una superficie plana._x000D_ _x000D_ 2) El aritmético: a cada superficie plana se le pueden asociar por lo menos 4 tipos de subcampos del campo de los números reales. Nos interesa determinar qué tipos de subcampos de los números reales provienen de superficies planas. Nos interesa también determinar bajo que condiciones el que tal campo sean los números racionales o un campo de números tiene consecuencias para la geometría de la superficie._x000D_ _x000D_ 3) El dinámico: nos interesa estudiar el flujo geodésico en una superficie plana para determinar cuándo este es recurrente o disipativo._x000D_ _x000D_ -- Campos vectoriales reales y complejos --_x000D_ _x000D_ _x000D_ 4) Nos interesa estudiar una clasificacion y descripcion combinatoria-geometrica completa de los campos vectoriales racionales en la esfera de Riemann. _x000D_ El caso de singularidades esenciales tambien sera considerado. _x000D_ Algunas singularidades esenciales aparecen como singularidades al infinito de_x000D_ las superficies descritas en (1)_x000D_ _x000D_ _x000D_ 5) Los campos holomorfos sobre superficies de Riemann_x000D_ son ejemplos de ecuaciones diferenciales donde _x000D_ diversos conceptos de integrabilidad coinciden entre si y _x000D_ se verifica siempre la integrabilidad, _x000D_ pues poseen primeras integrales y cajas de flujo globales (aunque usualmente multivaluadas)._x000D_ Describiendo el algebra de esas funciones multivaluadas permite _x000D_ considerar cuestiones aritmeticas como se dijo en (2), pero _x000D_ esta relacion esta por ser aclarada. _x000D_ Por ello, se estudiara como esta integrabilidad permite _x000D_ contruir objetos asociados a las solucion de la ecuacion diferencial _x000D_ y hallaremos aplicaciones a la construccion de difeomorfismos globales_x000D_ polinomiales de espacios euclideanos. _x000D_ _x000D_ _x000D_ _x000D_ ---------_x000D_ _x000D_ _x000D_ Tambien deseamos enfatizar que las superficies planas que estudia_x000D_ J. F. Valdez (desde su doctorado en Francia) coinciden con las que _x000D_ estudia J. Muciño; si bien Valdez estudia el caso no compacto _x000D_ y Muciño el caso compacto. Ello permite intercambiar tecnicas, ideas y ejemplos_x000D_ entre los puntos (1)-(5), anteriormente dichos. _x000D_ _x000D_

Contribución Academica: _x000D_ _x000D_ I) Dinámica y geometría de superficies planas:_x000D_ Se obtendria_x000D_ un mejor entendimiento de las superficies planas no compactas. Dichos objetos matemáticos forman la base para el estudio de sistemas físicos como los billares poligonales. Cuestiones fundamentales sobre los billares se ignoran todavía (por ejemplo la existencia general de órbitas periódicas) y todo progreso hacia una solución de dichas cuestiones en una contribución importante para la ciencia._x000D_ _x000D_ II) En el tema de campos vectoriales holomorfos:_x000D_ Esperamos hallar una caracterizacion de campos reales (diferenciables)_x000D_ en el plano que se hacen holomorfos para una eleccion adecuada de una estructura compleja (el caso de superficies compactas fue estudiado por J. Muciño en un trabajo previo, ver [17] en bibliografia). _x000D_ _x000D_ Ello tendria consecuencias en la integrabilidad de campos vectoriales en el_x000D_ sentido clasico y en la construccion de ejemplos para la conjetura Jacobiana _x000D_ real y compleja (que pregunta bajo que condiciones un difeomorfismo local polinomial _x000D_ es difeomorfismo global, entre espacios euclideanos). _x000D_ En mas detalle; dado un polinomio no singular en dos variables es deseable _x000D_ entender cuando el aparece como coordenada de un difeomorfismo polinomial. _x000D_ Las obstrucciones a una respuesta afirmativa pueden leerse en _x000D_ el campo vectorial Hamiltoniano y sus superficies planas asociadas_x000D_ (siguiendo un trabajo previo de J. Muciño, A. Bustinduy y L. Giraldo, ver [18]_x000D_ en bibliografia)._x000D_ _x000D_ _x000D_ Esperamos describir combinatorimente los campos racionales en la esfera de Riemann_x000D_ mediante las metricas planas que inducen. Ello debera darnos _x000D_ una conexion completa entre; campos vectoriales racionales , 1-formas racionales _x000D_ y ciertas funciones multivaluadas en la esfera de Riemann._x000D_ Tenemos ya una descripcion de algunos aspectos en un trabajo previo de_x000D_ (J. Muciño, E. Frias-Armenta y L. Hernandez-Moguel, ver [21]). _x000D_ _x000D_ _x000D_ Contribucion en formación de personal: _x000D_ _x000D_ El proyecto nos permitirá reforzar la formación de estudiantes en las _x000D_ áreas afines a la geometría diferencial, las foliaciones y los _x000D_ sistemas dinámicos en el área de Morelia. Se proponen que tendriamos mas cursos, mini-cursos_x000D_ y la presencia de investigadores invitados foráneos que den pláticas básicas para estudiantes._x000D_ _x000D_ Tambien esperamos la compra de material _x000D_ bibliográfico afin al area, _x000D_ el apoyo para su asistencia a congresos nacionales o escuelas de verano._x000D_ _x000D_ En consolidación de grupos académicos: tanto el responsable del proyecto J. Muciño,_x000D_ como J. F. Valdez; organizan en conjuntamente con colegas de la Universidad Michoacana en Morelia un seminario semanal en geometría y dinámica. Con este proyecto no será posible ampliar la gama de invitados a dicho seminario, enriquecer la discusión y abrir nuevas rutas de investigación con los participantes del mismo._x000D_ _x000D_ Se fortaleceria el trabajo conjunto de investigacion (de J. Muciño) con _x000D_ investigadores en la Universidad de Sonora y Baja California._x000D_ _x000D_ ---------