Los sistemas dinámicos discretos complejos se caracterizan por tener un gran número de variables, correlacionadas de manera no trivial, las cuales toman un número finito de valores (en general 0 y 1). Nuestro enfoque en el estudio de estos sistemas es el de utilizar herramientas de la matemática discreta y combinatoria, de los desarrollos asintóticos y de la misma teoría de sistemas dinámicos continuos, para analizar nuevos aspectos de los sistemas dinámicos discretos y profundizar en su comprensión. _x000D_ _x000D_ Asimismo pretendemos incursionar en el estudio de la genética de poblaciones, que es una especialidad de la biología teórica, desde el punto de vista de modelaje computacional como desde el analítico mediante teorías de campo medio y análisis asintótico. Recientemente propusimos una nueva clasificación de las funciones booleanas en términos de lo que dimos en llamar su grado de irreducibilidad. Esto nos está permitiendo hacer novedosos cálculos en el estudio de la dinámica de los llamados autómatas NK de Kauffman. Ésta será una de las áreas de investigación en las que se centrará este proyecto._x000D_ _x000D_ Resumiendo, en el proyecto se harán las siguientes investigaciones:_x000D_ i) Aplicando las técnicas de la teoría de gráficas, así como expansiones asintóticas, estudiar la modelación del mapeo genotipo-fenotipo mediante autómatas NK de Kauffman [6]. _x000D_ _x000D_ ii) Uso de la descomposición de las funciones booleanas en su grado de irreducibilidad para estudiar la estabilidad de los autómatas de Kauffman ante cambios aleatorios en las conexiones de sus funciones booleanas así como en las propias funciones booleanas [3]. _x000D_ _x000D_ iii) Estudio de la genética de poblaciones, usando modelaje computacional y/o analítico mediante teorías de campo medio y análisis asintótico [10-20]._x000D_

A inicios de este siglo encontramos una nueva expresión combinatoria de la distribución del número de componentes conexas del modelo aleatorio (redes de Kauffman con K = N) [4,5]. Si bien ésta es completamente equivalente a las encontradas por Folkert [21] y Harris [22] desde el punto de vista numérico, es completamente diversa desde el aspecto combinatorio, tanto así que nos permitió la derivación de una expresión asintótica para N>>1, dándole así una utilidad práctica desde la perspectiva de las aplicaciones en física y biología teóricas. Asimismo, se encontraron fórmulas combinatorias y asintóticas para la longitud total de ciclos, para la probabilidad de que un estado dado esté en un ciclo, para la longitud promedio de los ciclos, para el alcance promedio de un punto, etc. [4,5]._x000D_ _x000D_ La clasificación de las funciones booleanas en términos de su grado de irreducibilidad fue un gran paso en el entendimiento de la dinámica de los autómatas celulares en general y promete generar resultados a corto y a mediano plazo. Hasta ahora sólo se había estudiado la estabilidad de la función genotipo-fenotipo (que es el mapeo de los autómatas de Kauffman en las gráficas funcionales) para el caso N >> 1 con K ~ O(1) dado que para esto sólo basta con conocer rho(lambda, omega) para lambda = 1 y hacer la aproximación asintótica para N >>1. Ahora sin embargo disponemos de una fórmula para rho(lambda, omega) completamente general que nos permitirá trabajar toda la gama de valores de K, i.e. 0 < K < N; con y sin necesidad de la aproximación asintótica [9] Eq.(31). Con esto se espera llegar a una mejor comprensión de la dinámica de los autómatas de Kauffman para toda la gama de valores de sus parámetros._x000D_ _x000D_ En la genética de poblaciones la incorporación de las técnicas de análisis asintótico permitirá, además de hacer cálculo computacional, llegar a expresiones analíticas para los estados de equilibrio para que la población se preserve. Esto es, que la dinámica poblacional mantenga un número igual de gametos masculinos que de los femeninos._x000D_ _x000D_